Номер 1.161, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.161. Дан треугольник. Постройте окружность:
а) вписанную в него;
б) описанную около него;
в) вневписанную.

а) вписанную в него

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Её центр, называемый инцентром, является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Построение выполняется в следующем порядке:

1. Пусть дан треугольник $ABC$.
2. С помощью циркуля и линейки строим биссектрису любого угла треугольника, например, угла $A$.
3. Строим биссектрису другого угла, например, угла $B$.
4. Находим точку пересечения построенных биссектрис. Обозначим эту точку $I$. Эта точка и будет центром вписанной окружности. (Третья биссектриса также пройдёт через эту точку).
5. Из точки $I$ опускаем перпендикуляр на любую из сторон треугольника, например, на сторону $AC$. Для этого проводим окружность с центром в точке $I$, пересекающую сторону $AC$ в двух точках. Затем из этих двух точек проводим две дуги одинакового радиуса до их пересечения. Соединив точку $I$ с точкой пересечения дуг, получим перпендикуляр. Обозначим основание перпендикуляра точкой $D$.
6. Отрезок $ID$ является радиусом $r$ вписанной окружности.
7. Строим окружность с центром в точке $I$ и радиусом $r = ID$. Эта окружность будет касаться всех трёх сторон треугольника.

Ответ: Центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис углов треугольника, а её радиус равен расстоянию от этого центра до любой из сторон треугольника.

б) описанную около него

Описанная окружность — это окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Её центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Построение выполняется в следующем порядке:

1. Пусть дан треугольник $ABC$.
2. С помощью циркуля и линейки строим серединный перпендикуляр к одной из сторон треугольника, например, к стороне $AB$. Для этого из точек $A$ и $B$ проводим дуги окружностей с одинаковым радиусом (большим половины длины отрезка $AB$) по обе стороны от отрезка. Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, является серединным перпендикуляром.
3. Строим серединный перпендикуляр к другой стороне, например, к стороне $BC$.
4. Находим точку пересечения построенных серединных перпендикуляров. Обозначим эту точку $O$. Эта точка и будет центром описанной окружности. (Серединный перпендикуляр к третьей стороне $AC$ также пройдёт через эту точку).
5. Отрезок, соединяющий точку $O$ с любой из вершин треугольника (например, $OA$), является радиусом $R$ описанной окружности.
6. Строим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$. Эта окружность пройдёт через все три вершины треугольника ($A$, $B$ и $C$).

Ответ: Центр описанной окружности находится на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а её радиус равен расстоянию от этого центра до любой из вершин треугольника.

в) вневписанную

Вневписанная окружность — это окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. У каждого треугольника есть три вневписанные окружности. Рассмотрим построение одной из них — той, что касается стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Её центр, называемый эксцентром, является точкой пересечения биссектрисы внутреннего угла $A$ и биссектрис двух внешних углов при вершинах $B$ и $C$.

1. Пусть дан треугольник $ABC$.
2. Продлим стороны $AB$ за точку $B$ и $AC$ за точку $C$.
3. Строим биссектрису внешнего угла при вершине $B$. Внешний угол образован стороной $BC$ и продолжением стороны $AB$.
4. Строим биссектрису внешнего угла при вершине $C$. Внешний угол образован стороной $BC$ и продолжением стороны $AC$.
5. Находим точку пересечения построенных биссектрис внешних углов. Обозначим эту точку $I_a$. Эта точка и будет центром вневписанной окружности, противолежащей вершине $A$. (Биссектриса внутреннего угла $A$ также пройдёт через эту точку).
6. Из точки $I_a$ опускаем перпендикуляр на любую из трёх прямых, которых касается окружность, например, на прямую $BC$. Обозначим основание перпендикуляра точкой $E$.
7. Отрезок $I_aE$ является радиусом $r_a$ данной вневписанной окружности.
8. Строим окружность с центром в точке $I_a$ и радиусом $r_a = I_aE$. Эта окружность будет касаться стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$.

Аналогично строятся две другие вневписанные окружности (касающаяся стороны $AC$ и продолжений $BA$ и $BC$; и касающаяся стороны $AB$ и продолжений $CA$ и $CB$).

Ответ: Центр вневписанной окружности находится на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и двух биссектрис внешних углов треугольника. Радиус равен расстоянию от этого центра до стороны (или продолжения стороны), которой касается окружность.