Номер 1.154, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.154. На рис. 1.71 изображена прямо-угольная трапеция ABCD, в которой $AC \perp BD$, $BC = 2$ см и $\angle BDC = 30^{\circ}$. По этим условиям самостоятельно сформулируйте задачу. (Выполните работу в группе.)

Рис. 1.71

В условии задачи предлагается самостоятельно сформулировать задачу на основе данных из текста и с рисунка. Сформулируем задачу, объединив все предоставленные данные, а затем проанализируем ее на корректность.

Сформулированная задача:

Дана прямоугольная трапеция ABCD, в которой основания BC и AD параллельны, а боковая сторона CD перпендикулярна основаниям ($\angle D = 90^\circ$). Диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Известно, что длина меньшего основания $BC = 2$ см, высота $CD = 4$ см и угол $\angle BDC = 30^\circ$. Требуется найти площадь трапеции.

Решение и анализ:

Для вычисления площади трапеции используется формула $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CD$. Нам нужно найти длину большего основания AD.

1. Рассмотрим треугольник BDC. В нем известны длины двух сторон $BC=2$ см, $CD=4$ см и угол $\angle BDC = 30^\circ$. Применим к этому треугольнику теорему синусов: $\frac{BC}{\sin(\angle BDC)} = \frac{CD}{\sin(\angle CBD)}$

Подставим известные значения: $\frac{2}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{\sin(\angle CBD)}$

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $\frac{2}{1/2} = \frac{4}{\sin(\angle CBD)}$ $4 = \frac{4}{\sin(\angle CBD)}$

Из этого уравнения следует, что $\sin(\angle CBD) = 1$, что возможно только если $\angle CBD = 90^\circ$.

2. Теперь рассмотрим свойства трапеции. Основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Прямая BD является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы $\angle CBD$ и $\angle ADB$ равны. Поскольку мы нашли, что $\angle CBD = 90^\circ$, то и $\angle ADB = 90^\circ$.

3. Угол при вершине D трапеции, $\angle ADC$, состоит из двух углов: $\angle ADB$ и $\angle BDC$. $\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$.

Полученный результат ($\angle ADC = 120^\circ$) противоречит условию, что трапеция является прямоугольной с прямым углом при вершине D ($\angle ADC = 90^\circ$). Это означает, что исходный набор данных является противоречивым, и задача в такой постановке не имеет решения.

Вероятно, указание "Выполните работу в группе" подразумевает обсуждение этого противоречия и формулировку корректной задачи путем исключения одного из условий. Рассмотрим два возможных варианта.

Вариант 1. Предположим, что длина высоты CD на рисунке указана неверно, а остальные условия задачи истинны.

Сформулированная задача: Дана прямоугольная трапеция ABCD ($\angle D = 90^\circ$) с основанием $BC=2$ см. Диагонали AC и BD перпендикулярны, и $\angle BDC = 30^\circ$. Найти площадь трапеции.

Решение:
Пусть высота $CD = h$ и основание $AD = a$. Введем систему координат с началом в точке D(0,0). Тогда $A=(a, 0)$ и $C=(0, h)$. Так как $BC \parallel AD$ и $BC=2$, то точка B имеет координаты $B=(2, h)$.

1. Используем условие $\angle BDC = 30^\circ$. Найдем косинус этого угла через скалярное произведение векторов $\vec{DC}=(0, h)$ и $\vec{DB}=(2, h)$: $\cos(\angle BDC) = \frac{\vec{DC} \cdot \vec{DB}}{|\vec{DC}| \cdot |\vec{DB}|} = \frac{0 \cdot 2 + h \cdot h}{\sqrt{0^2+h^2} \cdot \sqrt{2^2+h^2}} = \frac{h^2}{h \sqrt{4+h^2}} = \frac{h}{\sqrt{4+h^2}}$

По условию $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, значит: $\frac{h}{\sqrt{4+h^2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Возведем обе части в квадрат: $\frac{h^2}{4+h^2} = \frac{3}{4} \implies 4h^2 = 3(4+h^2) \implies 4h^2 = 12 + 3h^2 \implies h^2 = 12$. Отсюда высота $h = CD = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Используем условие перпендикулярности диагоналей. Для прямоугольной трапеции, у которой диагонали перпендикулярны, квадрат высоты равен произведению оснований: $CD^2 = BC \cdot AD$. $(2\sqrt{3})^2 = 2 \cdot AD$ $12 = 2 \cdot AD \implies AD = 6$ см.

3. Находим площадь трапеции: $S = \frac{BC+AD}{2} \cdot CD = \frac{2+6}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см².

Ответ: В данной постановке задачи площадь трапеции равна $8\sqrt{3}$ см².

Вариант 2. Предположим, что значение угла $\angle BDC$ на рисунке указано неверно, а остальные условия истинны.

Сформулированная задача: Дана прямоугольная трапеция ABCD ($\angle D = 90^\circ$) с основанием $BC=2$ см и высотой $CD=4$ см. Диагонали AC и BD перпендикулярны. Найти площадь трапеции.

Решение:
1. Используем свойство прямоугольной трапеции с перпендикулярными диагоналями: квадрат высоты равен произведению оснований. $CD^2 = BC \cdot AD$

Подставляем известные значения: $4^2 = 2 \cdot AD$ $16 = 2 \cdot AD \implies AD = 8$ см.

2. Находим площадь трапеции: $S = \frac{BC+AD}{2} \cdot CD = \frac{2+8}{2} \cdot 4 = \frac{10}{2} \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$ см².

(При таких условиях угол $\angle BDC$ будет равен $\arccos(\frac{2}{\sqrt{5}}) \approx 26.57^\circ$, а не 30°).

Ответ: В данной постановке задачи площадь трапеции равна 20 см².