Номер 1.150, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.150. Постройте трапецию по основаниям и
боковым сторонам.

Для построения трапеции по заданным длинам оснований $a$ и $b$ и боковых сторон $c$ и $d$ воспользуемся методом вспомогательного треугольника.

Анализ

Пусть искомая трапеция $ABCD$ построена. Пусть $AD$ и $BC$ — её основания, $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По условию, длины оснований равны $a$ и $b$, а длины боковых сторон — $c$ и $d$. Пусть для определенности $AD = a$, $BC = b$, $AB = c$ и $CD = d$. Будем считать, что $a > b$. (Если $a < b$, рассуждения аналогичны, а если $a = b$, то трапеция является параллелограммом, и его построение по трем сторонам $a, c, d$ возможно только если $c=d$).

Проведём через вершину $B$ прямую, параллельную боковой стороне $CD$. Пусть эта прямая пересекает большее основание $AD$ в точке $E$. Рассмотрим получившийся четырехугольник $BCDE$. Так как по определению трапеции $BC \parallel AD$, то $BC \parallel ED$. По построению $BE \parallel CD$. Следовательно, четырехугольник $BCDE$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма имеем: $BE = CD = d$ и $ED = BC = b$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABE$. Все его стороны нам известны:

• $AB = c$ (боковая сторона трапеции).
• $BE = d$ (так как $BE = CD$).
• $AE = AD - ED = a - b$. Длина этого отрезка является разностью длин оснований.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ABE$ по трём известным сторонам ($c$, $d$ и $a-b$), а затем к достроению этого треугольника до искомой трапеции.

Построение

Пусть даны четыре отрезка с длинами $a, b, c, d$.

1. Построим отрезок, равный разности оснований $a-b$. Для этого на произвольной прямой $l$ отложим отрезок $a$, а затем от его конца в обратном направлении отложим отрезок $b$. Полученный отрезок обозначим $AE$. Его длина равна $a-b$.
2. Построим треугольник $ABE$ по трем сторонам: $AE = a-b$, $AB = c$, $BE = d$. Для этого:
   • Из точки $A$ как из центра проведем дугу окружности радиусом $c$.
   • Из точки $E$ как из центра проведем дугу окружности радиусом $d$.
   • Точка пересечения этих дуг будет вершиной $B$. (Задача будет иметь два симметричных решения, выберем одно из них). Соединим точки $A, B$ и $E$ отрезками.
3. Достроим полученный треугольник до трапеции $ABCD$. Для этого нужно найти вершины $D$ и $C$.
   • Вершина $D$ лежит на прямой $l$. На луче $AE$ от точки $E$ отложим отрезок $ED$ длиной $b$. Получим точку $D$. В результате длина отрезка $AD$ будет равна $AE + ED = (a-b) + b = a$.
   • Для нахождения вершины $C$ воспользуемся тем, что $BCDE$ — параллелограмм. Это значит, что $\vec{BC} = \vec{ED}$. Можно построить точку $C$ с помощью циркуля и линейки, выполнив параллельный перенос точки $B$ на вектор $\vec{ED}$, либо построить ее как пересечение двух окружностей:
     • Проведем окружность с центром в точке $B$ и радиусом $b$ (так как $BC=b$).
     • Проведем окружность с центром в точке $D$ и радиусом $d$ (так как $CD=d$).
     • Точка пересечения этих окружностей (расположенная в той же полуплоскости относительно прямой $AD$, что и точка $B$) и будет вершиной $C$.
4. Соединим точки $B$ с $C$ и $C$ с $D$. Четырехугольник $ABCD$ является искомой трапецией.

Доказательство

В построенном четырехугольнике $ABCD$ сторона $AD$ по построению равна $a$. По построению $ED=b$ и $BC=b$. Также $BE=d$ и $CD=d$. На шаге 3 мы провели прямую через $E$ и $A$, а затем построили на ней точку $D$. Точка $C$ была построена так, что $BCDE$ - параллелограмм (его противоположные стороны $BC$ и $ED$ равны $b$, а $BE$ и $CD$ равны $d$). Из того, что $BCDE$ - параллелограмм, следует, что $BC \parallel ED$, а значит $BC \parallel AD$. Сторона $AB$ по построению равна $c$. Таким образом, четырехугольник $ABCD$ является трапецией с основаниями $AD=a$, $BC=b$ и боковыми сторонами $AB=c$, $CD=d$. Построение верно.

Исследование

Построение возможно в том и только в том случае, если возможно построить вспомогательный треугольник $ABE$. Для существования треугольника со сторонами $c$, $d$ и $|a-b|$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство треугольника, то есть сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны:

$c + d > |a-b|$

$c + |a-b| > d$

$d + |a-b| > c$

Если эти условия выполняются, задача имеет единственное решение с точностью до осевой симметрии относительно прямой, содержащей большее основание. Если одно из неравенств обращается в равенство, трапеция вырождается (ее вершины оказываются на одной прямой). Если хотя бы одно из строгих неравенств не выполняется, то задача решения не имеет.

Ответ: описанный алгоритм в разделе "Построение" позволяет построить искомую трапецию с помощью циркуля и линейки при выполнении условий, указанных в разделе "Исследование".