Страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.36. Из вершин $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ проведены перпендикуляры $BK$ и $DM$ к диагонали $AC$. Докажите, что четырехугольник $BMDK$ – параллелограмм (рис. 1.25).

Рис. 1.25

Чтобы доказать, что четырехугольник $BMDK$ является параллелограммом, нужно показать, что он удовлетворяет одному из признаков параллелограмма. Воспользуемся признаком, согласно которому четырехугольник является параллелограммом, если две его противолежащие стороны равны и параллельны. Докажем, что стороны $BK$ и $DM$ равны и параллельны.

1. Доказательство параллельности сторон $BK$ и $DM$.

По условию задачи, из вершин $B$ и $D$ к диагонали $AC$ проведены перпендикуляры $BK$ и $DM$. Это означает, что $BK \perp AC$ и $DM \perp AC$. Согласно геометрическому свойству, две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей прямой, параллельны между собой. Следовательно, $BK \parallel DM$.

2. Доказательство равенства сторон $BK$ и $DM$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ADM$ и $\triangle CBK$.

• $AD = CB$, так как это противолежащие стороны параллелограмма $ABCD$.
• Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны $AD$ и $CB$ параллельны ($AD \parallel CB$). Диагональ $AC$ является для них секущей. Поэтому накрест лежащие углы $\angle DAM$ и $\angle BCK$ равны: $\angle DAM = \angle BCK$.
• $\angle DMA = \angle BKC = 90^\circ$ по условию, так как $DM$ и $BK$ — перпендикуляры.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ADM$ и $\triangle CBK$ равны по гипотенузе ($AD = CB$) и острому углу ($\angle DAM = \angle BCK$). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $DM = BK$.

3. Заключение.

Мы установили, что в четырехугольнике $BMDK$ противолежащие стороны $BK$ и $DM$ параллельны ($BK \parallel DM$) и равны ($BK = DM$). Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник $BMDK$ является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $BMDK$ является параллелограммом.

Рис. 1.25

1.37. В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $E$.

Найдите длины отрезков $BE$ и $EC$,

если $AB = 9 \text{ см}$, $AD = 15 \text{ см}$.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Прямая $AE$ является секущей для параллельных прямых $AD$ и $BC$. Внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны. Следовательно, угол $\angle DAE$ равен углу $\angle BEA$.

По условию задачи, $AE$ — это биссектриса угла $A$ (или $\angle BAD$). Биссектриса делит угол пополам, поэтому $\angle BAE = \angle DAE$.

Из двух полученных равенств ($\angle DAE = \angle BEA$ и $\angle BAE = \angle DAE$) следует, что $\angle BAE = \angle BEA$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABE$. Так как два его угла ($\angle BAE$ и $\angle BEA$) равны, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AE$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. В данном случае это стороны $AB$ и $BE$. Таким образом, $AB = BE$.

Из доказанного выше следует, что длина отрезка $BE$ равна длине стороны $AB$. По условию задачи, $AB = 9$ см. Следовательно, $BE = 9$ см.

Ответ: $BE = 9$ см.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $BC = AD$. По условию, $AD = 15$ см, значит, и $BC = 15$ см.

Точка $E$ лежит на стороне $BC$, поэтому длина стороны $BC$ является суммой длин отрезков $BE$ и $EC$: $BC = BE + EC$.

Чтобы найти длину отрезка $EC$, нужно из длины всей стороны $BC$ вычесть длину уже известного отрезка $BE$:

$EC = BC - BE = 15 - 9 = 6$ см.

Ответ: $EC = 6$ см.

1.38. Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 4, а его периметр равен 2,8 м. Найдите стороны параллелограмма.

1.38. Пусть a и b — две смежные стороны параллелограмма. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны попарно равны.

Из условия задачи известно, что стороны относятся как $3:4$. Введем коэффициент пропорциональности x. Тогда длины сторон можно выразить как $a = 3x$ и $b = 4x$.

Периметр параллелограмма (P) — это сумма длин всех его сторон. Формула для периметра: $P = 2(a + b)$.

По условию, периметр равен 2,8 м. Подставим наши выражения для сторон в формулу периметра и составим уравнение:
$2(3x + 4x) = 2,8$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение x:
$2(7x) = 2,8$
$14x = 2,8$
$x = \frac{2,8}{14}$
$x = 0,2$

Зная значение коэффициента x, найдем длины сторон параллелограмма:
Длина одной стороны: $a = 3x = 3 \cdot 0,2 = 0,6$ м.
Длина смежной с ней стороны: $b = 4x = 4 \cdot 0,2 = 0,8$ м.

Так как у параллелограмма две пары равных сторон, то его стороны равны 0,6 м, 0,8 м, 0,6 м и 0,8 м.

Ответ: 0,6 м, 0,8 м, 0,6 м, 0,8 м.

1.39. В параллелограмме $ABCD$ перпендикуляр, опущенный из вершины $B$ на сторону $AD$, делит ее пополам. Периметр параллелограмма равен 3,8 м, а периметр треугольника $ABD$ – 3 м. Найдите диагональ $BD$ и стороны параллелограмма.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Обозначим его стороны как $AB$ и $AD$. Периметр параллелограмма $P_{ABCD}$ вычисляется по формуле: $P_{ABCD} = 2(AB + AD)$. По условию задачи, $P_{ABCD} = 3,8$ м, следовательно: $2(AB + AD) = 3,8$ $AB + AD = 1,9$ м.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Его периметр $P_{ABD}$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABD} = AB + AD + BD$. По условию, $P_{ABD} = 3$ м.

Мы можем подставить значение суммы $AB + AD$, найденное из периметра параллелограмма, в формулу периметра треугольника: $3 = (AB + AD) + BD$ $3 = 1,9 + BD$ Отсюда мы можем найти длину диагонали $BD$: $BD = 3 - 1,9 = 1,1$ м.

Далее, согласно условию, перпендикуляр, опущенный из вершины $B$ на сторону $AD$, делит эту сторону пополам. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра на стороне $AD$. Тогда $BH$ является высотой треугольника $ABD$. Поскольку $H$ — середина стороны $AD$, $BH$ также является и медианой этого треугольника.

Если в треугольнике высота, проведенная к одной из сторон, является также и медианой, то этот треугольник — равнобедренный. В нашем случае, в треугольнике $ABD$ высота и медиана $BH$ проведены из вершины $B$, следовательно, стороны, прилегающие к этой вершине, равны: $AB = BD$.

Так как мы уже вычислили, что $BD = 1,1$ м, то и сторона $AB$ имеет такую же длину: $AB = 1,1$ м.

Наконец, зная длину стороны $AB$, мы можем найти длину второй стороны параллелограмма, $AD$, используя соотношение, полученное в самом начале: $AB + AD = 1,9$ $1,1 + AD = 1,9$ $AD = 1,9 - 1,1 = 0,8$ м.

Таким образом, мы нашли и диагональ, и стороны параллелограмма.

Ответ: диагональ $BD = 1,1$ м, стороны параллелограмма равны $1,1$ м и $0,8$ м.

1.40. Стороны параллелограмма равны 3 см и 5 см. Может ли одна из диагоналей этого параллелограмма быть равна:

а) 10 см;

б) 8 см;

в) 4 см?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством сторон и диагонали любого треугольника, известным как неравенство треугольника. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Сторонами такого треугольника являются две смежные стороны параллелограмма и сама диагональ.

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 3$ см и $b = 5$ см, а длина диагонали равна $d$. Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника должна быть строго меньше суммы длин двух других сторон и строго больше модуля их разности.

Применительно к нашему случаю, для диагонали $d$ должно выполняться двойное неравенство:

$|a - b| < d < a + b$

Подставим известные значения сторон $a$ и $b$:

$|3 - 5| < d < 3 + 5$

$2 \text{ см} < d < 8 \text{ см}$

Таким образом, длина любой диагонали этого параллелограмма должна быть в интервале от 2 см до 8 см (не включая концы интервала). Теперь проверим предложенные варианты.

а) 10 см

Проверим, может ли диагональ $d$ быть равной 10 см. Это значение не попадает в найденный нами диапазон $(2; 8)$, поскольку $10 > 8$. Это означает, что не выполняется неравенство треугольника $d < a + b$ (так как $10 \not< 3+5$). Следовательно, треугольник со сторонами 3 см, 5 см и 10 см не может существовать.

Ответ: нет, не может.

б) 8 см

Проверим, может ли диагональ $d$ быть равной 8 см. Это значение является верхней границей нашего диапазона, но не входит в него, так как неравенство $d < 8$ строгое. Равенство $d = a + b$ (то есть $8 = 3+5$) возможно только для вырожденного треугольника, у которого все вершины лежат на одной прямой. В этом случае параллелограмм "сплющивается" в отрезок, что не является геометрической фигурой "параллелограмм".

Ответ: нет, не может.

в) 4 см

Проверим, может ли диагональ $d$ быть равной 4 см. Это значение удовлетворяет условию $2 < d < 8$, так как $2 < 4 < 8$. Неравенство треугольника выполняется, и треугольник со сторонами 3 см, 5 см и 4 см может существовать. Значит, и параллелограмм с такой диагональю тоже может существовать.

Ответ: да, может.

1.41. Докажите, что отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма, параллелен двум другим его сторонам.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Пусть точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина противоположной ей стороны $CD$. Нам необходимо доказать, что отрезок $MN$ параллелен двум другим сторонам параллелограмма, то есть $AD$ и $BC$.

1. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, для параллелограмма $ABCD$ справедливо: $AB \parallel CD$ и $AB = CD$.

2. Так как точка $M$ является серединой стороны $AB$, то длина отрезка $AM$ равна половине длины стороны $AB$, то есть $AM = \frac{1}{2}AB$. Аналогично, так как точка $N$ является серединой стороны $CD$, то $DN = \frac{1}{2}CD$.

3. Поскольку $AB = CD$, то и их половины равны между собой: $AM = DN$.

4. Так как прямые, на которых лежат стороны $AB$ и $CD$, параллельны, то и отрезки $AM$ и $DN$, являющиеся их частями, также параллельны: $AM \parallel DN$.

5. Рассмотрим четырехугольник $AMND$. В этом четырехугольнике две противоположные стороны, $AM$ и $DN$, как было показано, равны ($AM = DN$) и параллельны ($AM \parallel DN$).

6. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, четырехугольник $AMND$ — это параллелограмм.

7. По определению параллелограмма, его другие противоположные стороны, а именно $MN$ и $AD$, также должны быть параллельны. Таким образом, $MN \parallel AD$.

8. В исходном параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ также параллельны ($AD \parallel BC$). Поскольку мы доказали, что $MN \parallel AD$, то по свойству транзитивности параллельных прямых (если прямая $a$ параллельна прямой $b$, а прямая $b$ параллельна прямой $c$, то $a$ параллельна $c$) следует, что отрезок $MN$ также параллелен стороне $BC$.

Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма, параллелен двум другим его сторонам.

Ответ: Утверждение доказано.

1.42. Проведите прямую так, чтобы разделить параллелограмм на два равных между собой:

1) треугольника;

1) четырехугольника.

1) треугольника
Чтобы разделить параллелограмм на два равных треугольника, необходимо провести прямую, совпадающую с одной из его диагоналей.
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Проведем в нем диагональ $AC$. Эта диагональ делит параллелограмм на два треугольника: $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $.
Докажем, что эти треугольники равны.
В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны:
1. $AB = CD$
2. $BC = AD$
Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.
Следовательно, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Аналогичное доказательство можно провести для диагонали $BD$.
Ответ: Прямая должна совпадать с одной из диагоналей параллелограмма.

2) четырехугольника
Чтобы разделить параллелограмм на два равных четырехугольника, необходимо провести любую прямую через точку пересечения его диагоналей.
Параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Центром симметрии $O$ является точка пересечения его диагоналей. Любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит эту фигуру на две равные (конгруэнтные) части.
Пусть дан параллелограмм $ABCD$, и пусть $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Проведем через точку $O$ произвольную прямую $l$, которая пересекает противоположные стороны $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
Эта прямая делит параллелограмм на два четырехугольника: $ABMN$ и $CDNM$.
При центральной симметрии относительно точки $O$:
- Вершина $A$ переходит в вершину $C$.
- Вершина $B$ переходит в вершину $D$.
- Точка $M$ на стороне $BC$ переходит в точку $N$ на стороне $AD$ (так как $ \triangle BOM $ равен $ \triangle DON $ по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Таким образом, четырехугольник $ABMN$ при центральной симметрии с центром в точке $O$ полностью совмещается с четырехугольником $CDNM$. Следовательно, эти четырехугольники равны.
Ответ: Прямая должна проходить через точку пересечения диагоналей параллелограмма.

1.43. Постройте параллелограмм, если дана точка пересечения его диагоналей и места расположения двух соседних вершин.

Пусть даны точка $O$ — точка пересечения диагоналей, и две соседние вершины $A$ и $B$ искомого параллелограмма $ABCD$.

Построение

Построение основано на ключевом свойстве диагоналей параллелограмма: они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$. Это означает, что вершины $C$ и $D$ симметричны вершинам $A$ и $B$ соответственно относительно точки $O$. Алгоритм построения следующий:

1. Соединяем точку $A$ с точкой $O$ и проводим луч $AO$.
2. На продолжении луча $AO$ за точку $O$ откладываем отрезок $OC$, равный по длине отрезку $AO$. Точка $C$ будет третьей вершиной параллелограмма.
3. Аналогично, соединяем точку $B$ с точкой $O$ и проводим луч $BO$.
4. На продолжении луча $BO$ за точку $O$ откладываем отрезок $OD$, равный по длине отрезку $BO$. Точка $D$ будет четвертой вершиной.
5. Последовательно соединяем отрезками точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$. По построению, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Также по построению выполнены равенства $AO = OC$ и $BO = OD$. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом. Так как в четырехугольнике $ABCD$ это условие выполняется, он является параллелограммом. Вершины $A$ и $B$ являются соседними, а точка $O$ — точкой пересечения диагоналей, что соответствует условию задачи.

Ответ: Для построения параллелограмма необходимо найти две недостающие вершины. Для этого нужно построить точку $C$, симметричную данной вершине $A$ относительно данной точки $O$ (точки пересечения диагоналей), и точку $D$, симметричную данной вершине $B$ также относительно точки $O$. Последовательное соединение вершин $A$, $B$, $C$ и $D$ дает искомый параллелограмм.

1.44. В четырехугольнике сумма углов, прилежащих к каждой из двух соседних сторон, равна $180^\circ$. Докажите, что этот четырехугольник является параллелограммом.

Пусть данный четырехугольник — это $ABCD$. Обозначим его углы как $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$. По условию, сумма углов, прилежащих к каждой из двух соседних сторон, равна $180^\circ$. Выберем в качестве этих соседних сторон $AB$ и $BC$.

1. Доказательство параллельности сторон AD и BC
Для стороны $AB$ прилежащими углами являются $\angle A$ и $\angle B$. Согласно условию задачи, их сумма равна $180^\circ$:
$\angle A + \angle B = 180^\circ$
Углы $\angle A$ и $\angle B$ являются внутренними односторонними углами при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. Поскольку сумма этих углов составляет $180^\circ$, то по признаку параллельности двух прямых, прямые $AD$ и $BC$ параллельны. То есть, $AD \parallel BC$.

2. Доказательство параллельности сторон AB и DC
Для стороны $BC$ прилежащими углами являются $\angle B$ и $\angle C$. По условию, их сумма также равна $180^\circ$:
$\angle B + \angle C = 180^\circ$
Аналогично, углы $\angle B$ и $\angle C$ являются внутренними односторонними углами при прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BC$. Так как их сумма равна $180^\circ$, то прямые $AB$ и $DC$ параллельны. То есть, $AB \parallel DC$.

Вывод
Мы установили, что в четырехугольнике $ABCD$ обе пары противолежащих сторон параллельны: $AD \parallel BC$ и $AB \parallel DC$. По определению, четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник, удовлетворяющий данным условиям, является параллелограммом.

1.45. Постройте параллелограмм по равным смежным сторонам и углу между ними.

Для построения параллелограмма по двум равным смежным сторонам и углу между ними нам понадобятся циркуль и линейка. Пусть задана длина смежных сторон $s$ и угол между ними $\alpha$. Так как смежные стороны параллелограмма равны, то такой параллелограмм является ромбом, а значит, все его стороны равны $s$.

Построение будет состоять из следующих шагов:

1. Начнем с построения одной из сторон. Проведем произвольную прямую и выберем на ней точку $A$. С помощью циркуля отложим от точки $A$ отрезок $AB$ длиной $s$.
2. Теперь построим заданный угол. От луча $AB$ с вершиной в точке $A$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Получим новый луч, назовем его $l$.
3. На луче $l$ отложим вторую сторону. От точки $A$ на луче $l$ отложим отрезок $AD$ длиной $s$. Таким образом, мы построили две смежные стороны $AB$ и $AD$ и угол между ними $\angle DAB = \alpha$.
4. Осталось найти четвертую вершину $C$. В параллелограмме $ABCD$ сторона $BC$ должна быть параллельна и равна стороне $AD$, а сторона $CD$ должна быть параллельна и равна стороне $AB$. Так как $AB = AD = s$, то и $BC = CD = s$. Это значит, что точка $C$ находится на расстоянии $s$ от точки $B$ и на расстоянии $s$ от точки $D$.
5. Чтобы найти точку $C$, построим две окружности (или их дуги): одну с центром в точке $B$ и радиусом $s$, а другую — с центром в точке $D$ и радиусом $s$.
6. Точка пересечения этих двух окружностей и будет искомой вершиной $C$.
7. Соединим точку $C$ с точками $B$ и $D$ с помощью отрезков.

В результате мы получили четырехугольник $ABCD$. Докажем, что он является искомым параллелограммом. По построению, $AB = s$ и $AD = s$. Также, $BC = s$ (как радиус окружности с центром в $B$) и $CD = s$ (как радиус окружности с центром в $D$). Таким образом, все стороны четырехугольника равны: $AB=BC=CD=DA=s$. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно равны ($AB=CD$ и $BC=DA$), является параллелограммом. У построенного параллелограмма $ABCD$ смежные стороны $AB$ и $AD$ равны $s$, а угол между ними $\angle DAB$ равен $\alpha$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: Построенный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом (в данном частном случае — ромбом).

1.46. Постройте параллелограмм по стороне и двум диагоналям.

Для построения параллелограмма по заданной стороне $a$ и двум диагоналям $d_1$ и $d_2$ используется ключевое свойство диагоналей параллелограмма: в точке пересечения они делятся пополам. Это позволяет свести задачу к построению треугольника по трем известным сторонам.

Предположим, что искомый параллелограмм $ABCD$ уже построен. Пусть сторона $AB$ равна заданной длине $a$, а диагонали $AC$ и $BD$ равны $d_1$ и $d_2$ соответственно. Обозначим точку пересечения диагоналей буквой $O$.

Согласно свойству диагоналей параллелограмма, точка $O$ является серединой каждой из них. Это означает, что $AO = OC = \frac{1}{2}d_1$ и $BO = OD = \frac{1}{2}d_2$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Длины всех его сторон нам известны: $AB = a$ (по условию), $AO = \frac{1}{2}d_1$ и $BO = \frac{1}{2}d_2$. Построив этот треугольник, мы определим положение вершин $A$ и $B$, а также центра параллелограмма $O$.

Зная положение точек $A$, $B$ и $O$, мы можем однозначно найти остальные вершины. Вершина $C$ является точкой, симметричной вершине $A$ относительно точки $O$. Аналогично, вершина $D$ симметрична вершине $B$ относительно точки $O$. Таким образом, для нахождения вершины $C$ нужно продлить отрезок $AO$ за точку $O$ на его же длину, а для нахождения $D$ — продлить отрезок $BO$ за точку $O$ на его длину.

Следовательно, вся задача сводится к построению треугольника $AOB$ по трем сторонам: $a$, $\frac{1}{2}d_1$ и $\frac{1}{2}d_2$.

1. С помощью циркуля и линейки находим середины отрезков, представляющих диагонали $d_1$ и $d_2$. Так мы получаем отрезки с длинами $\frac{1}{2}d_1$ и $\frac{1}{2}d_2$.
2. Проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку $A$. С помощью циркуля откладываем от точки $A$ отрезок $AB$, равный заданной стороне $a$.
3. Из центра в точке $A$ проводим дугу окружности с радиусом, равным $\frac{1}{2}d_1$.
4. Из центра в точке $B$ проводим дугу окружности с радиусом, равным $\frac{1}{2}d_2$.
5. Точку пересечения построенных дуг обозначаем буквой $O$. Соединяем точки $A$, $O$ и $B$ для получения треугольника $AOB$.
6. Проводим прямую через точки $A$ и $O$. На этой прямой от точки $O$ откладываем отрезок $OC$, равный отрезку $AO$, так, чтобы точка $O$ лежала между $A$ и $C$.
7. Проводим прямую через точки $B$ и $O$. На этой прямой от точки $O$ откладываем отрезок $OD$, равный отрезку $BO$, так, чтобы точка $O$ лежала между $B$ и $D$.
8. Последовательно соединяем точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$. По построению его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Также по построению $AO = OC$ и $BO = OD$. Поскольку диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то по одному из признаков параллелограмма четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Проверим соответствие длин его элементов заданным условиям. Сторона $AB$ равна $a$ по построению. Длина диагонали $AC$ равна $AO + OC = \frac{1}{2}d_1 + \frac{1}{2}d_1 = d_1$. Длина диагонали $BD$ равна $BO + OD = \frac{1}{2}d_2 + \frac{1}{2}d_2 = d_2$.

Следовательно, построенный параллелограмм $ABCD$ полностью удовлетворяет условиям задачи.

Задача имеет решение в том и только в том случае, если возможно построение треугольника $AOB$ со сторонами $a$, $\frac{1}{2}d_1$ и $\frac{1}{2}d_2$. Для этого необходимо, чтобы выполнялось неравенство треугольника для длин этих сторон:

• $a + \frac{1}{2}d_1 > \frac{1}{2}d_2$
• $a + \frac{1}{2}d_2 > \frac{1}{2}d_1$
• $\frac{1}{2}d_1 + \frac{1}{2}d_2 > a$, что равносильно $d_1 + d_2 > 2a$.

Если эти условия соблюдены, дуги окружностей из пункта 5 построения пересекутся, и задача будет иметь единственное решение (все возможные решения будут конгруэнтными параллелограммами). Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, построение невозможно.

Ответ: искомый параллелограмм строится по описанному выше алгоритму, основанному на построении треугольника со сторонами $a$, $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. Задача имеет решение, если сумма длин диагоналей больше удвоенной длины данной стороны ($d_1 + d_2 > 2a$).

1.47. Докажите, что биссектрисы двух противолежащих углов параллелограмма параллельны (рис. 1.26).

Рис. 1.26

Пусть дан параллелограмм ABCD. Проведём биссектрисы противолежащих углов A и C. Обозначим биссектрису угла A как AE, где точка E лежит на стороне CD, и биссектрису угла C как CF, где точка F лежит на стороне AB, в соответствии с рисунком.

Нам необходимо доказать, что биссектрисы AE и CF параллельны ($AE \parallel CF$).

Для доказательства мы покажем, что четырехугольник AFCE является параллелограммом. Если это так, то по определению параллелограмма его противолежащие стороны AE и CF будут параллельны.

Чтобы доказать, что AFCE — параллелограмм, воспользуемся признаком: если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Рассмотрим стороны AF и EC.

1. Параллельность сторон AF и EC.

   Сторона AF лежит на прямой AB, а сторона EC — на прямой CD. Поскольку ABCD является параллелограммом, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Следовательно, отрезки, лежащие на этих прямых, также параллельны: $AF \parallel EC$.

2. Равенство сторон AF и EC.

   Чтобы доказать, что $AF = EC$, рассмотрим треугольники ▵ADE и ▵CBF. Сравним их элементы:

   • $AD = CB$, так как это противолежащие стороны параллелограмма ABCD.
   • $\angle D = \angle B$, так как это противолежащие углы параллелограмма ABCD.
   • $\angle A = \angle C$ как противолежащие углы параллелограмма ABCD. Поскольку AE и CF — биссектрисы этих углов, то и половины этих углов равны: $\angle DAE = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle BCF = \frac{1}{2}\angle C$. Отсюда следует, что $\angle DAE = \angle BCF$.

   Таким образом, треугольник ▵ADE равен треугольнику ▵CBF по стороне и двум прилежащим углам (в данном случае по стороне и двум углам, один из которых прилежащий, а другой противолежащий стороне, что является следствием из основного признака). Следовательно, $\triangle ADE \cong \triangle CBF$.

   Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $DE = BF$.

   Мы знаем, что в параллелограмме ABCD стороны $AB$ и $CD$ равны. Запишем это равенство через составляющие их отрезки:

   $AF + FB = CE + ED$

   Так как мы доказали, что $BF = DE$, мы можем вычесть эти равные величины из обеих частей равенства:

   $AF + \cancel{FB} = CE + \cancel{ED}$

   В результате получаем $AF = EC$.

Мы установили, что в четырехугольнике AFCE противолежащие стороны AF и EC параллельны и равны. Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник AFCE является параллелограммом.

Из определения параллелограмма следует, что его противолежащие стороны AE и CF также параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

1.48. Периметр параллелограмма равен 50 см. Диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника, разность периметров двух из них равна 5 см. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию, $P = 50$ см, следовательно, мы можем составить первое уравнение:

$2(a + b) = 50$

$a + b = 25$

Диагонали параллелограмма пересекаются в точке $O$ и делят друг друга пополам. Они делят параллелограмм на четыре треугольника. Рассмотрим два смежных треугольника, например, $AOB$ и $BOC$, где $AB = a$ и $BC = b$.

Стороны этих треугольников:

• Треугольник $AOB$ имеет стороны $AB$, $AO$ и $BO$. Его периметр $P_{AOB} = a + AO + BO$.
• Треугольник $BOC$ имеет стороны $BC$, $BO$ и $CO$. Его периметр $P_{BOC} = b + BO + CO$.

Так как диагонали в точке пересечения делятся пополам, то $AO = CO$.

Найдем разность периметров этих двух треугольников:

Разность периметров двух смежных треугольников $P_{BOC} - P_{AOB}$ равна:

$(b + BO + CO) - (a + AO + BO)$

Поскольку $AO = CO$, мы можем упростить выражение:

$b + BO + AO - a - AO - BO = b - a$

Таким образом, разность периметров двух смежных треугольников, образованных диагоналями, равна разности длин смежных сторон параллелограмма. По условию, эта разность равна 5 см. Получаем второе уравнение:

$b - a = 5$ (будем считать, что $b$ — большая сторона)

Решим систему из двух уравнений:

Мы получили систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 25 \\ b - a = 5 \end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы найти $b$:

$(a + b) + (b - a) = 25 + 5$

$2b = 30$

$b = 15$ см

Теперь подставим значение $b$ в первое уравнение, чтобы найти $a$:

$a + 15 = 25$

$a = 25 - 15$

$a = 10$ см

Стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см.