Номер 1.52, страница 21 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.52. Окружности пересекаются в точках M и N (рис. 1.27). Докажите:

1) $ \Delta O_1MO_2 = \Delta O_1NO_2 $;

2) $ \Delta MO_1N $ и $ \Delta MO_2N $ являются равнобедренными треугольниками.

Рис. 1.27

1) Докажите: $\Delta O_1MO_2 = \Delta O_1NO_2$

Рассмотрим два треугольника: $\Delta O_1MO_2$ и $\Delta O_1NO_2$.

• Сторона $O_1M$ равна стороне $O_1N$, так как обе они являются радиусами первой окружности с центром в точке $O_1$.
• Сторона $O_2M$ равна стороне $O_2N$, так как обе они являются радиусами второй окружности с центром в точке $O_2$.
• Сторона $O_1O_2$ является общей для обоих треугольников.

Поскольку три стороны одного треугольника ($\Delta O_1MO_2$) соответственно равны трем сторонам другого треугольника ($\Delta O_1NO_2$), эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Ответ: Равенство треугольников $\Delta O_1MO_2$ и $\Delta O_1NO_2$ доказано.

2) Докажите: $\Delta MO_1N$ и $\Delta MO_2N$ являются равнобедренными треугольниками.

Сначала рассмотрим треугольник $\Delta MO_1N$. Точки $M$ и $N$ лежат на окружности с центром в точке $O_1$. Отрезки $O_1M$ и $O_1N$ соединяют центр окружности с точками на ней, следовательно, они являются радиусами этой окружности. Таким образом, $O_1M = O_1N$. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Значит, $\Delta MO_1N$ — равнобедренный.

Теперь рассмотрим треугольник $\Delta MO_2N$. Точки $M$ и $N$ лежат на окружности с центром в точке $O_2$. Отрезки $O_2M$ и $O_2N$ являются радиусами этой окружности. Таким образом, $O_2M = O_2N$. Следовательно, треугольник $\Delta MO_2N$ также является равнобедренным.

Ответ: Доказано, что треугольники $\Delta MO_1N$ и $\Delta MO_2N$ являются равнобедренными.