Номер 1.53, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.53. Докажите, что четырехугольник, имеющий два прямых угла, не всегда является прямоугольником (рис. 1.33).

Чтобы доказать, что четырехугольник, имеющий два прямых угла, не всегда является прямоугольником, достаточно привести хотя бы один пример (контрпример) такого четырехугольника, который не является прямоугольником.

Сначала вспомним определение: прямоугольник — это четырехугольник, у которого все четыре угла являются прямыми, то есть равны $90^\circ$.

Теперь построим четырехугольник, который будет служить нашим контрпримером. Рассмотрим фигуру, известную как прямоугольная трапеция.

Пусть дан четырехугольник $ABCD$, у которого основания $AB$ и $DC$ параллельны друг другу ($AB \parallel DC$), а одна из боковых сторон, например $AD$, перпендикулярна обоим основаниям.

Проанализируем углы этого четырехугольника:

• Поскольку сторона $AD$ перпендикулярна основанию $AB$, угол при вершине $A$ прямой: $\angle DAB = 90^\circ$.
• Поскольку сторона $AD$ перпендикулярна основанию $DC$, угол при вершине $D$ также прямой: $\angle ADC = 90^\circ$.

Таким образом, мы построили четырехугольник, у которого есть два прямых угла.

Теперь проверим, является ли он прямоугольником. Для этого необходимо, чтобы два других угла, $\angle ABC$ и $\angle BCD$, также были прямыми.

По свойству трапеции, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Для боковой стороны $BC$ это означает: $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$.

Это равенство превратится в $\angle ABC = \angle BCD = 90^\circ$ только в том случае, если боковая сторона $BC$ также перпендикулярна основаниям. А это возможно, только если длины оснований равны, то есть $AB = DC$. В таком случае трапеция становится прямоугольником.

Однако, если мы выберем длины оснований не равными друг другу, например $AB \neq DC$, то фигура останется трапецией, но не будет прямоугольником. В этом случае сторона $BC$ будет наклонена к основаниям, и, следовательно, углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ не будут равны $90^\circ$. Например, если основание $DC$ длиннее основания $AB$, то угол $\angle ABC$ будет тупым (больше $90^\circ$), а угол $\angle BCD$ — острым (меньше $90^\circ$).

Такая прямоугольная трапеция с неравными основаниями и является искомым контрпримером. Она имеет два прямых угла, но не является прямоугольником.

Ответ: Утверждение доказано. В качестве примера четырехугольника с двумя прямыми углами, не являющегося прямоугольником, можно взять любую прямоугольную трапецию, у которой основания не равны. У такой трапеции два угла при одной боковой стороне прямые, а два других угла не являются прямыми, что означает, что она не является прямоугольником.