Номер 1.59, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.3. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Раздел 1. Многоугольники. Четырехугольники - номер 1.59, страница 24.

Учебник rus.

1.59. Всегда ли четырехугольник, диагонали которого равны и пер-пендикулярны, является ромбом?

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Нет, не всегда. Четырехугольник, диагонали которого равны и перпендикулярны, не обязательно является ромбом.

Анализ определения ромба

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делят друг друга пополам. Условие того, что четырехугольник является ромбом, можно сформулировать так: четырехугольник является ромбом тогда и только тогда, когда его диагонали являются перпендикулярными биссектрисами друг друга.

В условии задачи дано, что диагонали равны ($d_1 = d_2$) и перпендикулярны ($d_1 \perp d_2$), но не сказано, что они делят друг друга пополам в точке пересечения. Именно отсутствие этого условия и не позволяет однозначно утверждать, что такой четырехугольник — ромб. Если бы диагонали в точке пересечения делились пополам, то четырехугольник был бы ромбом (а с учетом их равенства — даже квадратом).

Построение контрпримера

Чтобы доказать, что утверждение не всегда верно, достаточно привести один контрпример. Построим четырехугольник, который удовлетворяет условиям задачи, но не является ромбом.
Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
Пусть диагонали лежат на осях координат в декартовой системе: $AC$ на оси $OY$, а $BD$ на оси $OX$. Это гарантирует их перпендикулярность ($AC \perp BD$).
Зададим координаты вершин так, чтобы диагонали были равны, но не делили друг друга пополам.
Пусть длина каждой диагонали равна 4.
Для диагонали $AC$ выберем отрезки $AO = 1$ и $OC = 3$. Тогда $AC = AO + OC = 1 + 3 = 4$. Координаты вершин будут $A(0, 1)$ и $C(0, -3)$.
Для диагонали $BD$ выберем отрезки $BO = 3$ и $OD = 1$. Тогда $BD = BO + OD = 3 + 1 = 4$. Координаты вершин будут $B(3, 0)$ и $D(-1, 0)$.
Таким образом, мы получили четырехугольник $ABCD$ с равными ($AC = BD = 4$) и перпендикулярными диагоналями.

Теперь проверим, является ли он ромбом, для чего найдем длины его сторон по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$:
$AB = \sqrt{(3-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{(0-3)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$
$CD = \sqrt{(-1-0)^2 + (0-(-3))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$
$DA = \sqrt{(0-(-1))^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Длины сторон четырехугольника равны $\sqrt{10}$, $\sqrt{18}$, $\sqrt{10}$ и $\sqrt{2}$. Поскольку не все стороны равны между собой, этот четырехугольник не является ромбом.

Ответ: Нет, не всегда.