Номер 1.31, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.31. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма (рис. 1.24).

Рис. 1.24

Пусть дан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC = 5$ м. Точка $D$ выбрана на основании $AC$. Через точку $D$ проведены прямые $DE$ и $DF$ так, что $DE \parallel BC$ (где точка $E$ лежит на стороне $AB$) и $DF \parallel AB$ (где точка $F$ лежит на стороне $BC$).

Рассмотрим четырехугольник $EBFD$. По построению его противолежащие стороны параллельны: $DE \parallel BF$ (так как $DE \parallel BC$) и $DF \parallel EB$ (так как $DF \parallel AB$). Следовательно, четырехугольник $EBFD$ является параллелограммом по определению.

Периметр параллелограмма $EBFD$ равен сумме длин всех его сторон: $P_{EBFD} = EB + BF + FD + DE$.

Поскольку треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Так как $DE \parallel BC$, то соответственные углы при секущей $AC$ равны: $\angle EDA = \angle BCA$. Учитывая равенство углов при основании треугольника $ABC$, получаем: $\angle EAD = \angle BAC = \angle BCA = \angle EDA$. Таким образом, в треугольнике $\triangle ADE$ углы при стороне $AD$ равны, следовательно, треугольник $\triangle ADE$ — равнобедренный, и $AE = DE$.

Аналогично, так как $DF \parallel AB$, то соответственные углы при секущей $AC$ равны: $\angle FDC = \angle BAC$. Поскольку $\angle FCD = \angle BCA = \angle BAC$, то в треугольнике $\triangle FDC$ углы при стороне $DC$ равны ($\angle FDC = \angle FCD$). Следовательно, треугольник $\triangle FDC$ — равнобедренный, и $DF = FC$.

Теперь вернемся к периметру параллелограмма. Мы знаем, что противолежащие стороны параллелограмма равны, то есть $DE = BF$ и $FD = EB$. Периметр можно выразить как $P_{EBFD} = 2(DE + EB)$.

Используя равенство $AE = DE$, которое мы доказали ранее, мы можем подставить $AE$ вместо $DE$ в выражение для периметра:

$P_{EBFD} = 2(AE + EB)$.

Из рисунка видно, что сумма отрезков $AE$ и $EB$ составляет боковую сторону $AB$ треугольника $\triangle ABC$: $AE + EB = AB$.

Таким образом, периметр параллелограмма равен удвоенной длине боковой стороны $AB$:

$P_{EBFD} = 2 \cdot AB = 2 \cdot 5 \text{ м} = 10$ м.

Другой способ рассуждения:

$P_{EBFD} = DE + EB + BF + FD$. Подставим $DE=AE$ и $FD=FC$:

$P_{EBFD} = AE + EB + BF + FC = (AE + EB) + (BF + FC) = AB + BC = 5 \text{ м} + 5 \text{ м} = 10$ м.

Ответ: 10 м.