Номер 1.13, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.13.

1) Сколько углов имеет многоугольник, у которого сумма всех внутренних углов равна сумме всех внешних его углов?

2) Сколько вершин имеет многоугольник, если все его внешние углы тупые?

1) Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле: $S_{внутр} = 180^\circ \cdot (n - 2)$, где $n$ — количество углов (и сторон) многоугольника.
Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда постоянна и равна $360^\circ$.
По условию задачи, сумма внутренних углов равна сумме внешних углов:
$S_{внутр} = S_{внешн}$
$180^\circ \cdot (n - 2) = 360^\circ$
Чтобы найти количество углов $n$, решим это уравнение. Разделим обе части на $180^\circ$:
$n - 2 = \frac{360^\circ}{180^\circ}$
$n - 2 = 2$
$n = 4$
Следовательно, многоугольник имеет 4 угла. Это четырехугольник.
Ответ: 4.

2) Количество вершин в многоугольнике равно количеству его углов и сторон. Обозначим это число как $n$.
Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$.
Тупой угол — это угол, который больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
По условию, все $n$ внешних углов многоугольника являются тупыми. Это означает, что каждый из них больше $90^\circ$.
Если мы сложим все $n$ внешних углов, их сумма будет строго больше, чем если бы мы сложили $n$ углов по $90^\circ$:
Сумма внешних углов > $n \cdot 90^\circ$
Подставляем известное значение суммы внешних углов:
$360^\circ > n \cdot 90^\circ$
Разделим обе части неравенства на $90^\circ$:
$\frac{360^\circ}{90^\circ} > n$
$4 > n$
Поскольку любой многоугольник должен иметь как минимум 3 вершины ($n \ge 3$), то единственное целое число, удовлетворяющее условиям $n < 4$ и $n \ge 3$, это $n = 3$.
Такой многоугольник существует. Например, у равностороннего треугольника все внутренние углы равны $60^\circ$, а все внешние углы равны $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Угол $120^\circ$ является тупым.
Ответ: 3.