Номер 1.7, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.7. Может ли сумма углов многоугольника равняться сумме нечетного числа прямых углов? Обоснуйте ответ.

Сумма внутренних углов любого простого (в том числе выпуклого) n-угольника вычисляется по формуле $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$, где $n$ — количество сторон многоугольника, и $n \geq 3$.

Прямой угол равен $90^\circ$. Сумма $k$ прямых углов равна $k \cdot 90^\circ$.

По условию задачи, требуется определить, может ли сумма углов многоугольника равняться сумме нечетного числа прямых углов. Допустим, что это возможно. Тогда должно выполняться равенство:

$(n - 2) \cdot 180^\circ = k \cdot 90^\circ$

где $n$ — целое число ($n \geq 3$), а $k$ — нечетное целое положительное число.

Для анализа этого равенства разделим обе его части на $90^\circ$:

$(n - 2) \cdot \frac{180^\circ}{90^\circ} = k$

$(n - 2) \cdot 2 = k$

Рассмотрим левую часть полученного уравнения: $2(n - 2)$. Поскольку $n$ является целым числом, разность $(n - 2)$ также является целым числом. Произведение любого целого числа на 2 всегда дает в результате четное число. Следовательно, левая часть уравнения, $2(n - 2)$, всегда является четным числом для любого многоугольника.

Таким образом, мы приходим к выводу, что число $k$ должно быть четным. Однако, по нашему первоначальному предположению, $k$ — это нечетное число. Возникает противоречие, так как одно и то же число не может быть одновременно и четным, и нечетным.

Это противоречие означает, что наше исходное допущение было неверным.

Ответ: Нет, не может. Сумма углов многоугольника с $n$ сторонами равна $(n-2) \cdot 180^\circ$. Если выразить эту сумму в количестве прямых углов ($90^\circ$), она будет равна $2(n-2)$ прямым углам. Так как $n$ — целое число ($n \geq 3$), то $(n-2)$ — целое число, а $2(n-2)$ — всегда четное число. Следовательно, сумма углов многоугольника всегда равна четному числу прямых углов и не может равняться нечетному.