Страница 4 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1) Как вы понимаете термин «планиметрия»? Назовите ее основные фигуры, которые принимаются без определения.

Как вы понимаете термин «планиметрия»?

Планиметрия — это раздел евклидовой геометрии, который изучает свойства фигур, расположенных в одной плоскости (то есть двумерных фигур). Название «планиметрия» происходит от сочетания латинского слова planum («плоскость») и греческого слова metreo («измеряю»).

Основными объектами изучения в планиметрии являются точки, прямые, лучи, отрезки, углы, а также различные многоугольники (например, треугольники, квадраты) и кривые линии (например, окружность). Планиметрия исследует их взаимное расположение, свойства, признаки равенства и подобия. Ключевые задачи планиметрии включают вычисление длин, углов и площадей плоских фигур.

Ответ: Планиметрия — это раздел геометрии, который изучает свойства двумерных фигур (фигур, лежащих на одной плоскости).

Назовите ее основные фигуры, которые принимаются без определения.

В основе любой аксиоматической науки, какой является геометрия, лежат основные (или неопределяемые) понятия. Эти понятия не определяются через другие, более простые, а их суть и свойства раскрываются через систему аксиом. Они служат фундаментом для построения всей последующей теории и определения всех остальных понятий и фигур.

В планиметрии основными фигурами, которые принимаются без определения, являются:

1. Точка
Это фундаментальный геометрический объект, который не имеет никаких измеримых характеристик: ни длины, ни ширины, ни площади. Точка лишь обозначает определенное положение на плоскости.

2. Прямая
Это бесконечное множество точек. Прямая линия имеет только одно измерение — длину. У нее нет ширины или толщины. Она бесконечна в обе стороны, то есть не имеет ни начала, ни конца. Через любые две различные точки можно провести только одну прямую.

Стоит отметить, что иногда к числу основных неопределяемых понятий относят также и саму плоскость — поверхность, на которой и располагаются все фигуры планиметрии.

Ответ: Основные фигуры, принимаемые без определения в планиметрии, — это точка и прямая.

2) Что такое отрезок и луч? Запишите все отрезки и лучи, изображенные на рис. 01.

Отрезки:

$ \overline{AB} $

$ \overline{BC} $

$ \overline{AC} $

$ \overline{BE} $

$ \overline{BD} $

$ \overline{ED} $

Лучи:

$ \overrightarrow{BA} $

$ \overrightarrow{BC} $

$ \overrightarrow{BE} $

$ \overrightarrow{BD} $

$ \overrightarrow{AB} $

$ \overrightarrow{CB} $

$ \overrightarrow{EB} $

$ \overrightarrow{DB} $

Рис. 0.1

Что такое отрезок и луч?

Отрезок — это часть прямой линии, которая ограничена двумя точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок включает в себя оба своих конца и все точки прямой, лежащие между ними. Отрезок обозначается двумя заглавными латинскими буквами, обозначающими его концы, например, $AB$. Порядок букв не имеет значения, то есть $AB$ и $BA$ — это один и тот же отрезок.

Луч (или полупрямая) — это часть прямой линии, которая имеет начальную точку и простирается бесконечно только в одном направлении. Луч обозначается двумя заглавными латинскими буквами: первая буква — это всегда начальная точка луча, а вторая — любая другая точка, лежащая на луче и задающая его направление. Например, луч $AB$ начинается в точке $A$ и проходит через точку $B$. Лучи $AB$ и $BA$ — это разные лучи.

Ответ: Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками (концами). Луч — это часть прямой, имеющая начальную точку и уходящая в бесконечность в одном направлении.

Запишите все отрезки и лучи, изображенные на рис. 01.

На рисунке изображены две прямые, пересекающиеся в точке $B$. На одной прямой (линия $a$) лежат точки $A, B, C$. На другой прямой лежат точки $D, B, E$.

Отрезки, которые можно выделить на рисунке, это:
1. Отрезки на прямой $a$: $AB, BC, AC$.
2. Отрезки на прямой, проходящей через точки $D, B, E$: $DB, BE, DE$.

Лучи, которые можно выделить на рисунке, исходя из данных точек:
1. С началом в точке $A$: луч $AC$.
2. С началом в точке $B$: лучи $BA, BC, BD, BE$.
3. С началом в точке $C$: луч $CA$.
4. С началом в точке $D$: луч $DE$.
5. С началом в точке $E$: луч $ED$.

Ответ: Отрезки: $AB, BC, AC, DB, BE, DE$. Лучи: $AC, BA, BC, BD, BE, CA, DE, ED$.

3) Покажите все пары смежных и вертикальных углов на рис. 02. Какова сумма смежных углов и каковы величины вертикальных углов?

Рис. 0.2

Пары смежных и вертикальных углов

На рисунке 0.2 изображены две пересекающиеся прямые, образующие четыре угла.
Смежные углы — это пары углов, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой, образуя развернутый угол. На данном рисунке смежными являются следующие пары углов: $(\angle 1, \angle 2)$, $(\angle 2, \angle 3)$, $(\angle 3, \angle 4)$ и $(\angle 4, \angle 1)$.
Вертикальные углы — это пары углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого. На рисунке вертикальными являются следующие пары: $(\angle 1, \angle 3)$ и $(\angle 2, \angle 4)$.

Ответ: Пары смежных углов: $(\angle 1, \angle 2)$, $(\angle 2, \angle 3)$, $(\angle 3, \angle 4)$, $(\angle 4, \angle 1)$. Пары вертикальных углов: $(\angle 1, \angle 3)$, $(\angle 2, \angle 4)$.

Сумма смежных углов

По определению, смежные углы в сумме образуют развёрнутый угол. Градусная мера развёрнутого угла составляет $180^\circ$. Следовательно, сумма любых двух смежных углов всегда равна $180^\circ$.
Например, $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ или $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$.

Ответ: Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Величины вертикальных углов

Основное свойство вертикальных углов заключается в том, что они равны друг другу. Это можно доказать, используя свойство смежных углов. Рассмотрим вертикальные углы $\angle 1$ и $\angle 3$. Угол $\angle 2$ является смежным для каждого из них.
Из свойства смежных углов имеем:
$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$
$\angle 3 + \angle 2 = 180^\circ$
Отсюда следует, что $\angle 1 = \angle 3$. Аналогично доказывается равенство для другой пары вертикальных углов: $\angle 2 = \angle 4$.

Ответ: Вертикальные углы равны между собой.

4) Какие прямые называются перпендикулярными? Какова градусная мера прямого угла? (Рис. 03.)

Рис. 0.3

Какие прямые называются перпендикулярными?

Две прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они пересекаются под прямым углом. На рисунке 0.3 изображены две пересекающиеся прямые. Угол между ними, обозначенный цифрой 1, помечен квадратом. Этот символ в геометрии как раз и обозначает прямой угол ($90^\circ$). Следовательно, прямые на рисунке являются перпендикулярными.

Для обозначения перпендикулярности двух прямых, например, прямых a и b, используется специальный символ $ \perp $. Запись $ a \perp b $ читается как "прямая a перпендикулярна прямой b".

Ответ: Две прямые, которые при пересечении образуют прямые углы, называются перпендикулярными.

Какова градусная мера прямого угла?

Градусная мера прямого угла составляет ровно $90^\circ$. Прямой угол является одной из основных мер в геометрии и соответствует четверти полного оборота ($360^\circ / 4 = 90^\circ$).

Если при пересечении двух прямых один из образовавшихся углов является прямым, то и остальные три угла также будут прямыми. Рассмотрим это на примере рисунка 0.3, где $ \angle 1 = 90^\circ $:

1. Углы 1 и 2 являются смежными, так как у них одна общая сторона, а две другие являются продолжениями друг друга. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Отсюда находим меру угла 2: $ \angle 2 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ $.

2. Углы 1 и 4 являются вертикальными, так как стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Вертикальные углы всегда равны. Следовательно, $ \angle 4 = \angle 1 = 90^\circ $.

3. Углы 2 и 5 также являются вертикальными. Поэтому $ \angle 5 = \angle 2 = 90^\circ $.

Таким образом, все четыре угла, образованные при пересечении перпендикулярных прямых, являются прямыми, и их градусная мера равна $90^\circ$.

Ответ: Градусная мера прямого угла равна $90^\circ$.

5) Покажите все пары:

1) внутренних накрест лежащих углов;

2) внутренних односторонних углов;

3) соответственных углов (рис. 04).

Рис. 0.4

1) внутренних накрест лежащих углов

Внутренними углами являются те, что расположены в пространстве между двумя прямыми, пересекаемыми третьей прямой (секущей). На данном рисунке это углы $\angle3$, $\angle4$, $\angle5$ и $\angle6$. Накрест лежащие углы находятся по разные стороны от секущей. Следовательно, искомые пары углов должны быть внутренними и располагаться по разные стороны от секущей.

Первая пара — это $\angle4$ и $\angle6$. Угол $\angle4$ находится слева от секущей, а угол $\angle6$ — справа.

Вторая пара — это $\angle3$ и $\angle5$. Угол $\angle3$ находится справа от секущей, а угол $\angle5$ — слева.

Ответ: Пары внутренних накрест лежащих углов: $(\angle4, \angle6)$ и $(\angle3, \angle5)$.

2) внутренних односторонних углов

Внутренние односторонние углы — это углы, которые лежат между двумя прямыми и по одну сторону от секущей. Как мы уже определили, внутренние углы — это $\angle3$, $\angle4$, $\angle5$ и $\angle6$.

Пары, лежащие по одну сторону от секущей, следующие:

Углы $\angle4$ и $\angle5$ оба расположены слева от секущей.

Углы $\angle3$ и $\angle6$ оба расположены справа от секущей.

Ответ: Пары внутренних односторонних углов: $(\angle4, \angle5)$ и $(\angle3, \angle6)$.

3) соответственных углов

Соответственные углы — это пары углов, которые занимают одинаковое положение при каждом пересечении. Один угол из пары является внутренним, а другой — внешним, и они находятся по одну сторону от секущей.

Рассмотрим все пары:

• Верхний левый угол при верхнем пересечении ($\angle1$) и верхний левый при нижнем ($\angle5$).
• Верхний правый угол при верхнем пересечении ($\angle2$) и верхний правый при нижнем ($\angle6$).
• Нижний левый угол при верхнем пересечении ($\angle4$) и нижний левый при нижнем ($\angle8$).
• Нижний правый угол при верхнем пересечении ($\angle3$) и нижний правый при нижнем ($\angle7$).

Ответ: Пары соответственных углов: $(\angle1, \angle5)$, $(\angle2, \angle6)$, $(\angle4, \angle8)$ и $(\angle3, \angle7)$.

6) Какие прямые называются параллельными? Сколько прямых, параллельных данной прямой, можно провести через заданную точку?

7) По рис. 95 сформулируйте

Какие прямые называются параллельными?

В евклидовой геометрии две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они не пересекаются. Это означает, что как бы далеко мы ни продолжали эти прямые в обе стороны, они никогда не будут иметь общей точки. Расстояние между двумя параллельными прямыми всегда постоянно. Для обозначения параллельности прямых a и b используется символ $ \parallel $, и запись выглядит как $a \parallel b$.

Ответ: Параллельными называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Сколько прямых, параллельных данной прямой, можно провести через заданную точку?

Ответ на этот вопрос является одной из основных аксиом планиметрии, известной как аксиома параллельных прямых или пятый постулат Евклида. Формулировка ответа зависит от расположения точки относительно прямой.

1. Если заданная точка не лежит на данной прямой. Согласно аксиоме параллельности, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной. Никакую другую прямую, параллельную исходной, через эту же точку провести невозможно.

2. Если заданная точка лежит на данной прямой. В этом случае провести через эту точку другую прямую, параллельную данной, невозможно. Любая прямая, проходящая через эту точку, либо совпадет с исходной прямой, либо пересечет ее в этой точке, а значит, по определению не будет ей параллельна.

Таким образом, в классической постановке задачи (когда точка не лежит на прямой) ответ однозначен.

Ответ: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

7) По рис. 05 сформулируйте три признака параллельности прямых и запишите их коротко на математическом языке.

Рис. 0.5

На рисунке 0.5 изображены две прямые a и b, пересеченные третьей прямой (секущей) c. При этом образуются 8 углов. Параллельность прямых a и b можно установить с помощью трех основных признаков, основанных на равенстве или сумме определенных пар углов.

1. По равенству накрест лежащих углов

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны. На рисунке накрест лежащими углами являются пары $\angle 3$ и $\angle 5$, а также $\angle 4$ и $\angle 6$.

Ответ: Если $\angle 3 = \angle 5$ или $\angle 4 = \angle 6$, то $a \parallel b$.

2. По равенству соответственных углов

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то такие прямые параллельны. На рисунке соответственными являются углы: $\angle 1$ и $\angle 5$; $\angle 2$ и $\angle 6$; $\angle 4$ и $\angle 8$; $\angle 3$ и $\angle 7$.

Ответ: Если $\angle 1 = \angle 5$ (или $\angle 2 = \angle 6$, или $\angle 4 = \angle 8$, или $\angle 3 = \angle 7$), то $a \parallel b$.

3. По сумме односторонних углов

Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то такие прямые параллельны. На рисунке внутренними односторонними углами являются пары $\angle 4$ и $\angle 5$, а также $\angle 3$ и $\angle 6$.

Ответ: Если $\angle 4 + \angle 5 = 180^\circ$ или $\angle 3 + \angle 6 = 180^\circ$, то $a \parallel b$.