Номер 3, страница 4 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3) Покажите все пары смежных и вертикальных углов на рис. 02. Какова сумма смежных углов и каковы величины вертикальных углов?

Рис. 0.2

Пары смежных и вертикальных углов

На рисунке 0.2 изображены две пересекающиеся прямые, образующие четыре угла.
Смежные углы — это пары углов, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой, образуя развернутый угол. На данном рисунке смежными являются следующие пары углов: $(\angle 1, \angle 2)$, $(\angle 2, \angle 3)$, $(\angle 3, \angle 4)$ и $(\angle 4, \angle 1)$.
Вертикальные углы — это пары углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого. На рисунке вертикальными являются следующие пары: $(\angle 1, \angle 3)$ и $(\angle 2, \angle 4)$.

Ответ: Пары смежных углов: $(\angle 1, \angle 2)$, $(\angle 2, \angle 3)$, $(\angle 3, \angle 4)$, $(\angle 4, \angle 1)$. Пары вертикальных углов: $(\angle 1, \angle 3)$, $(\angle 2, \angle 4)$.

Сумма смежных углов

По определению, смежные углы в сумме образуют развёрнутый угол. Градусная мера развёрнутого угла составляет $180^\circ$. Следовательно, сумма любых двух смежных углов всегда равна $180^\circ$.
Например, $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ или $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$.

Ответ: Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Величины вертикальных углов

Основное свойство вертикальных углов заключается в том, что они равны друг другу. Это можно доказать, используя свойство смежных углов. Рассмотрим вертикальные углы $\angle 1$ и $\angle 3$. Угол $\angle 2$ является смежным для каждого из них.
Из свойства смежных углов имеем:
$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$
$\angle 3 + \angle 2 = 180^\circ$
Отсюда следует, что $\angle 1 = \angle 3$. Аналогично доказывается равенство для другой пары вертикальных углов: $\angle 2 = \angle 4$.

Ответ: Вертикальные углы равны между собой.