Номер 11, страница 5 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

11) Что такое биссектриса треугольника? (Рис. 0.9.)

$B$

$E_3$

$E_1$

$A$

$E_2$

$C$

Рис. 0.9

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, который соединяет вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Иными словами, это часть луча, который выходит из вершины угла и делит этот угол на две равные части. Эта часть ограничена вершиной и точкой пересечения с противоположной стороной треугольника.

На представленном рисунке 0.9 в треугольнике $ABC$ проведены три биссектрисы, исходящие из каждой вершины:

• Отрезок $AE_1$ является биссектрисой угла $A$. Он делит угол $BAC$ на два равных угла: $\angle BAE_1 = \angle CAE_1$.
• Отрезок $BE_2$ является биссектрисой угла $B$. Он делит угол $ABC$ на два равных угла: $\angle ABE_2 = \angle CBE_2$.
• Отрезок $CE_3$ является биссектрисой угла $C$. Он делит угол $BCA$ на два равных угла: $\angle BCE_3 = \angle ACE_3$.

Основные свойства биссектрисы треугольника:

1. Свойство о точке пересечения. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется инцентром и является центром окружности, вписанной в данный треугольник. На рисунке видно, что отрезки $AE_1$, $BE_2$ и $CE_3$ пересекаются в одной точке.
2. Свойство о делении противоположной стороны (Теорема о биссектрисе). Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (прилежащим к углу). Например, для биссектрисы $BE_2$ угла $B$ выполняется соотношение: $$ \frac{AE_2}{CE_2} = \frac{AB}{CB} $$

Ответ: Биссектриса треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делит соответствующий угол треугольника пополам.