Номер 1.83, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.83. Внутри квадрата $ABCD$ взята точка $K$ так, что $\angle KAD = \angle KDA = 15^\circ$. Докажите, что треугольник $BCK$ равносторонний (рис. 1.41).

Для доказательства того, что треугольник $BCK$ является равносторонним, нам нужно показать, что все его стороны равны, то есть $BC = BK = CK$.

1. Рассмотрим треугольник $AKD$.
По условию задачи, $\angle KAD = \angle KDA = 15^\circ$. Так как углы при основании $AD$ равны, треугольник $AKD$ является равнобедренным. Отсюда следует, что его боковые стороны равны: $AK = DK$.

2. Сравним треугольники $ABK$ и $DCK$.
Поскольку $ABCD$ — это квадрат, то $AB = DC$ и $\angle DAB = \angle CDA = 90^\circ$.
Найдем углы $\angle BAK$ и $\angle CDK$:
$\angle BAK = \angle DAB - \angle KAD = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.
$\angle CDK = \angle CDA - \angle KDA = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.
Таким образом, $\angle BAK = \angle CDK$.
Теперь сравним треугольники $ABK$ и $DCK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• $AB = DC$ (стороны квадрата).
• $AK = DK$ (доказано в п. 1).
• $\angle BAK = \angle CDK = 75^\circ$ (вычислено выше).

3. Вычислим длину стороны $BK$ через сторону квадрата.
Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда $AD = AB = BC = a$.
В треугольнике $AKD$ найдем угол при вершине $K$: $\angle AKD = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 150^\circ$.
Применим теорему синусов к треугольнику $AKD$: $\frac{AK}{\sin(\angle KDA)} = \frac{AD}{\sin(\angle AKD)}$
$\frac{AK}{\sin(15^\circ)} = \frac{a}{\sin(150^\circ)}$
Зная, что $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, выразим $AK$:
$AK = \frac{a \cdot \sin(15^\circ)}{\sin(150^\circ)} = \frac{a \cdot \sin(15^\circ)}{1/2} = 2a \sin(15^\circ)$.
Теперь рассмотрим треугольник $ABK$. Мы знаем длины двух его сторон ($AB = a$, $AK = 2a \sin(15^\circ)$) и угол между ними ($\angle BAK = 75^\circ$). Применим теорему косинусов для нахождения длины стороны $BK$:
$BK^2 = AB^2 + AK^2 - 2 \cdot AB \cdot AK \cdot \cos(\angle BAK)$
$BK^2 = a^2 + (2a \sin(15^\circ))^2 - 2 \cdot a \cdot (2a \sin(15^\circ)) \cdot \cos(75^\circ)$
$BK^2 = a^2 + 4a^2 \sin^2(15^\circ) - 4a^2 \sin(15^\circ) \cos(75^\circ)$
Используем формулу приведения $\cos(75^\circ) = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin(15^\circ)$. Подставим это значение в уравнение:
$BK^2 = a^2 + 4a^2 \sin^2(15^\circ) - 4a^2 \sin(15^\circ) \sin(15^\circ)$
$BK^2 = a^2 + 4a^2 \sin^2(15^\circ) - 4a^2 \sin^2(15^\circ)$
$BK^2 = a^2$
Отсюда $BK = a$.

4. Заключение.
Мы получили, что $BK = a$. Так как $BC$ — это сторона квадрата, то $BC = a$. В пункте 2 мы доказали, что $BK = CK$.
Таким образом, мы имеем $BC = BK = CK = a$.
Поскольку все три стороны треугольника $BCK$ равны, он является равносторонним.

Ответ: Утверждение доказано. Мы показали, что $BC=BK=CK$, следовательно, треугольник $BCK$ является равносторонним.