Номер 1.80, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.80. Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Докажите, что полученный четырехугольник является квадратом.

Пусть дан квадрат $ABCD$. Его диагонали — $AC$ и $BD$. Обозначим четырехугольник, образованный пересечением прямых, проведенных через вершины квадрата параллельно его диагоналям, как $KLMN$.

Доказательство состоит из двух шагов:

1. Докажем, что $KLMN$ является прямоугольником. По построению, две противолежащие стороны четырехугольника $KLMN$ параллельны диагонали $AC$, а две другие — диагонали $BD$. Так как у четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны, $KLMN$ является параллелограммом.
Угол между смежными сторонами параллелограмма $KLMN$ равен углу между прямыми, на которых они лежат. По построению, эти прямые параллельны диагоналям $AC$ и $BD$. В исходном квадрате $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$, поэтому угол между ними равен $90^\circ$. Следовательно, угол между смежными сторонами $KLMN$ также равен $90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

2. Докажем, что у прямоугольника $KLMN$ равны смежные стороны. Пусть $k$ и $l$ — длины смежных сторон прямоугольника $KLMN$. Одна сторона, длиной $k$, лежит на прямой, параллельной $AC$. Ее длина определяется расстоянием между двумя прямыми, параллельными $BD$ и проходящими через вершины $A$ и $C$. Так как эти два семейства прямых (параллельных $AC$ и параллельных $BD$) взаимно перпендикулярны, длина стороны $k$ равна расстоянию между прямыми, проходящими через $A$ и $C$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из одной прямой на другую. Поскольку прямые параллельны $BD$, а диагональ $AC$ перпендикулярна $BD$, то длина такого перпендикуляра равна длине диагонали $AC$. Таким образом, $k = AC$.
Аналогично, смежная сторона длиной $l$ лежит на прямой, параллельной $BD$. Ее длина равна расстоянию между прямыми, проходящими через $B$ и $D$ параллельно $AC$. Это расстояние равно длине диагонали $BD$. Таким образом, $l = BD$.
В исходном квадрате $ABCD$ диагонали равны: $AC = BD$. Отсюда следует, что $k = l$, то есть смежные стороны прямоугольника $KLMN$ равны.

Поскольку $KLMN$ является прямоугольником, у которого смежные стороны равны, он является квадратом.

Ответ: Утверждение доказано. Полученный четырехугольник является квадратом, так как его углы прямые (поскольку они равны углу между перпендикулярными диагоналями исходного квадрата), а его смежные стороны равны (поскольку их длины равны длинам диагоналей исходного квадрата, которые равны между собой).