Страница 42 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1 На тренировке велосипедист трижды проехал кольцевую трассу. Первый круг он проехал со скоростью 30 км/ч, второй круг — со скоростью 24 км/ч, а третий — со скоростью 36 км/ч. Какова средняя скорость велосипедиста на всей дистанции? Ответ дайте с точностью до единиц.

Средняя скорость движения вычисляется по формуле: весь пройденный путь, деленный на всё время движения.

$V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Пусть $S$ — это длина одного круга кольцевой трассы в километрах.Поскольку велосипедист проехал три круга, общий пройденный им путь равен:

$S_{общ} = S + S + S = 3S$ км.

Далее найдем время, которое велосипедист затратил на прохождение каждого круга. Время вычисляется по формуле $t = \frac{S}{V}$.

Время, затраченное на первый круг: $t_1 = \frac{S}{30}$ ч.
Время, затраченное на второй круг: $t_2 = \frac{S}{24}$ ч.
Время, затраченное на третий круг: $t_3 = \frac{S}{36}$ ч.

Общее время движения — это сумма времени, затраченного на каждый круг:

$t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S}{30} + \frac{S}{24} + \frac{S}{36}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 30, 24 и 36 равно 360.

$t_{общ} = \frac{12 \cdot S}{360} + \frac{15 \cdot S}{360} + \frac{10 \cdot S}{360} = \frac{12S + 15S + 10S}{360} = \frac{37S}{360}$ ч.

Теперь мы можем вычислить среднюю скорость, подставив в формулу значения общего пути и общего времени:

$V_{ср} = \frac{3S}{\frac{37S}{360}}$

Длина круга $S$ в числителе и знаменателе сокращается:

$V_{ср} = \frac{3}{\frac{37}{360}} = 3 \cdot \frac{360}{37} = \frac{1080}{37}$ км/ч.

Осталось разделить 1080 на 37 и округлить результат до единиц, как требуется в условии задачи.

$V_{ср} = \frac{1080}{37} \approx 29,189$ км/ч.

Округляя до ближайшего целого числа, получаем 29.

Ответ: 29

2 В пункте 1.6 вы доказали, что среднее арифметическое двух чисел не меньше их среднего геометрического: $ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} $. Докажите алгебраически, что:

а) среднее геометрическое двух положительных чисел всегда не меньше их среднего гармонического;

б) среднее квадратичное двух положительных чисел всегда не меньше их среднего арифметического.

а) среднее геометрическое двух положительных чисел всегда не меньше их среднего гармонического;

Пусть даны два положительных числа $a > 0$ и $b > 0$.

Среднее геометрическое (СГ) этих чисел равно $G = \sqrt{ab}$.

Среднее гармоническое (СГарм) этих чисел равно $H = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$.

Необходимо доказать неравенство: $\sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$.

В условии задачи дано неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши): $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$ для любых неотрицательных чисел $x$ и $y$.

Так как $a$ и $b$ — положительные числа, то и числа $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$ также являются положительными. Применим к ним неравенство Коши:

$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} \geq \sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}}$

Упростим правую часть неравенства:

$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} \geq \sqrt{\frac{1}{ab}}$

$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} \geq \frac{1}{\sqrt{ab}}$

Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем взять обратные величины от каждой части, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab}$

Это и есть доказываемое неравенство, которое показывает, что среднее геометрическое не меньше среднего гармонического. Равенство достигается, когда $\frac{1}{a} = \frac{1}{b}$, то есть при $a=b$.

Ответ: Доказано, что $\sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ для всех $a, b > 0$.

б) среднее квадратичное двух положительных чисел всегда не меньше их среднего арифметического.

Пусть даны два положительных числа $a > 0$ и $b > 0$.

Среднее квадратичное (СК) этих чисел равно $Q = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$.

Среднее арифметическое (СА) этих чисел равно $A = \frac{a+b}{2}$.

Необходимо доказать неравенство: $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$.

Поскольку $a$ и $b$ положительны, обе части неравенства также положительны. Следовательно, мы можем возвести обе части в квадрат, не меняя знака неравенства:

$\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\right)^2 \geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$

$\frac{a^2+b^2}{2} \geq \frac{(a+b)^2}{4}$

Раскроем скобки в правой части:

$\frac{a^2+b^2}{2} \geq \frac{a^2+2ab+b^2}{4}$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$2(a^2+b^2) \geq a^2+2ab+b^2$

$2a^2+2b^2 \geq a^2+2ab+b^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$2a^2+2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 \geq 0$

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$

Полученное выражение является полным квадратом разности:

$(a-b)^2 \geq 0$

Это неравенство верно для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно. Равенство достигается при $a-b=0$, то есть при $a=b$.

Ответ: Доказано, что $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$ для всех $a, b > 0$.