Страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1 Представьте в виде периодической дроби число:

а) $ \frac{4}{9} $;

б) $ \frac{3}{11} $;

в) $ \frac{6}{13} $;

г) $ \frac{5}{24} $.

а) Чтобы представить обыкновенную дробь $\frac{4}{9}$ в виде периодической десятичной дроби, нужно разделить числитель 4 на знаменатель 9. Выполним деление столбиком:

$4 \div 9 = 0.444...$
При делении 4 на 9 получаем 0 и остаток 4. Сносим 0, получаем 40.
$40 \div 9 = 4$ и в остатке 4.
Снова сносим 0, получаем 40.
$40 \div 9 = 4$ и в остатке 4.
Этот процесс будет продолжаться бесконечно, и в частном будет повторяться цифра 4. Такая дробь называется чистой периодической. Повторяющаяся цифра (период) записывается в скобках.

Ответ: $0.(4)$

б) Чтобы представить дробь $\frac{3}{11}$ в виде периодической, разделим 3 на 11:

$3 \div 11 = 0.2727...$
При делении 3 на 11 получаем 0 и остаток 3. Сносим 0, получаем 30.
$30 \div 11 = 2$ и в остатке 8 ($30 - 2 \cdot 11 = 8$).
Сносим 0, получаем 80.
$80 \div 11 = 7$ и в остатке 3 ($80 - 7 \cdot 11 = 3$).
Остаток снова равен 3, значит, частное начнет повторяться. Периодом является последовательность цифр 27.

Ответ: $0.(27)$

в) Чтобы представить дробь $\frac{6}{13}$ в виде периодической, разделим 6 на 13:

$6 \div 13 = 0.461538461538...$
Выполним деление столбиком:
$60 \div 13 = 4$ (остаток 8)
$80 \div 13 = 6$ (остаток 2)
$20 \div 13 = 1$ (остаток 7)
$70 \div 13 = 5$ (остаток 5)
$50 \div 13 = 3$ (остаток 11)
$110 \div 13 = 8$ (остаток 6)
Остаток снова стал равен 6, как и в самом начале. Это значит, что последовательность цифр 461538 начнет повторяться.

Ответ: $0.(461538)$

г) Чтобы представить дробь $\frac{5}{24}$ в виде периодической, разделим 5 на 24:

$5 \div 24 = 0.208333...$
Выполним деление столбиком:
$50 \div 24 = 2$ (остаток 2)
$20 \div 24 = 0$ (остаток 20)
$200 \div 24 = 8$ (остаток 8, так как $24 \cdot 8 = 192$)
$80 \div 24 = 3$ (остаток 8, так как $24 \cdot 3 = 72$)
Далее остаток 8 будет повторяться, а значит, в частном будет повторяться цифра 3.
Это смешанная периодическая дробь. Часть "208" после запятой не повторяется, а цифра "3" является периодом.

Ответ: $0.208(3)$

2 Разверните запись в бесконечную десятичную дробь, записав десять знаков после запятой:

а) $0,(21)$;

б) $3,(062)$;

в) $1,2(34)$;

г) $5,24(7)$.

а) 0,(21)

В записи периодической дроби $0,(21)$ число в скобках, 21, является периодом. Это означает, что группа цифр "21" бесконечно повторяется после запятой. Чтобы записать десять знаков после запятой, мы повторяем эту группу цифр.

Развернем запись: $0,(21) = 0,2121212121...$

Первые десять знаков после запятой получаются пятикратным повторением периода "21".

Ответ: $0,2121212121...$

б) 3,(062)

В записи $3,(062)$ целая часть равна 3, а период — 062. Группа цифр "062" бесконечно повторяется после запятой.

Развернем запись: $3,(062) = 3,0620620620...$

Чтобы записать десять знаков после запятой, мы выписываем период "062" три полных раза ($3 \times 3 = 9$ знаков) и добавляем первую цифру от следующего повторения периода, то есть "0".

Ответ: $3,0620620620...$

в) 1,2(34)

Это смешанная периодическая дробь. В записи $1,2(34)$ целая часть равна 1, цифра 2 — это неповторяющаяся часть после запятой (предпериод), а 34 — это период. После неповторяющейся части "2" мы начинаем бесконечно повторять период "34".

Развернем запись: $1,2(34) = 1,2343434343...$

Нам нужно десять знаков после запятой. Первый знак — это 2. Остальные девять знаков мы получаем, повторяя период "34": четыре полных раза ($2 \times 4 = 8$ знаков) и первая цифра от пятого повторения, то есть "3".

Ответ: $1,2343434343...$

г) 5,24(7)

Это смешанная периодическая дробь. В записи $5,24(7)$ целая часть равна 5, неповторяющаяся часть после запятой (предпериод) — 24, а период — 7. Мы записываем целую часть, затем предпериод, а после него бесконечно повторяем период.

Развернем запись: $5,24(7) = 5,2477777777...$

Нам нужно десять знаков после запятой. Первые два знака — это предпериод 24. Остальные восемь знаков — это повторение периода "7".

Ответ: $5,2477777777...$

3 Сравните:

а) $0,(7)$ и $0,(71)$;

б) $8,(215)$ и $8,2(15)$;

в) $0,(3)$ и $\frac{1}{3}$;

г) $1,4$ и $1,(4)$.

а) Для сравнения чисел $0,(7)$ и $0,(71)$ запишем их в развернутом виде:

$0,(7) = 0,7777...$

$0,(71) = 0,7171...$

Сравниваем эти числа поразрядно, начиная слева направо. Цифры в разряде десятых у обоих чисел одинаковы и равны 7. Переходим к следующему разряду — сотым. У числа $0,(7)$ в разряде сотых стоит цифра 7, а у числа $0,(71)$ — цифра 1. Так как $7 > 1$, то и число $0,(7)$ больше числа $0,(71)$.

Ответ: $0,(7) > 0,(71)$.

б) Для сравнения чисел $8,(215)$ и $8,2(15)$ запишем их в развернутом виде:

$8,(215) = 8,215215...$

$8,2(15) = 8,2151515...$

Сравниваем эти числа поразрядно. Целые части и первые три цифры после запятой ($215$) у них совпадают. Сравниваем четвертые цифры после запятой: у числа $8,(215)$ это 2 (первая цифра периода 215), а у числа $8,2(15)$ это 1 (первая цифра периода 15). Так как $2 > 1$, то число $8,(215)$ больше числа $8,2(15)$.

Ответ: $8,(215) > 8,2(15)$.

в) Для сравнения чисел $0,(3)$ и $\frac{1}{3}$ преобразуем обыкновенную дробь $\frac{1}{3}$ в десятичную. для этого разделим числитель 1 на знаменатель 3:

$1 \div 3 = 0,333...$

Полученная бесконечная десятичная дробь является периодической и записывается как $0,(3)$. Таким образом, данные числа равны.

Также можно преобразовать периодическую дробь $0,(3)$ в обыкновенную. Пусть $x = 0,(3)$. Тогда $10x = 3,(3)$. Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 3,(3) - 0,(3)$, что дает $9x = 3$. Отсюда $x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $0,(3) = \frac{1}{3}$.

г) Для сравнения чисел $1,4$ и $1,(4)$ запишем их в развернутом виде, помня, что конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной с периодом 0:

$1,4 = 1,4000...$

$1,(4) = 1,4444...$

Сравниваем эти числа поразрядно. Целые части и цифры в разряде десятых у них совпадают. Сравниваем цифры в разряде сотых: у числа $1,4$ это 0, а у числа $1,(4)$ это 4. Так как $0 < 4$, то число $1,4$ меньше числа $1,(4)$.

Ответ: $1,4 < 1,(4)$.

4. Придумайте какую-нибудь периодическую дробь, заключённую между числами:

а) $0,(5)$ и $0,(15)$;

б) $0,(20)$ и $0,(200)$;

в) $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$;

г) $0,12$ и $0,13$.

а) Нам нужно найти периодическую дробь между числами $0,(5)$ и $0,(15)$.

Запишем эти дроби в развернутом виде, чтобы сравнить их:

$0,(5) = 0,5555...$

$0,(15) = 0,151515...$

Мы ищем число $x$, такое что $0,151515... < x < 0,5555...$.

Существует бесконечно много таких чисел. Например, мы можем взять число, которое начинается с $0,2$, $0,3$ или $0,4$. Возьмем, к примеру, периодическую дробь $0,(2)$.

$0,(2) = 0,2222...$

Проверим неравенство: $0,151515... < 0,2222... < 0,5555...$. Неравенство верное. Таким образом, $0,(2)$ является периодической дробью, заключенной между заданными числами.

Ответ: $0,(2)$.

б) Нам нужно найти периодическую дробь между числами $0,(20)$ и $0,(200)$.

Запишем эти дроби в развернутом виде:

$0,(20) = 0,202020...$

$0,(200) = 0,200200200...$

Сравнивая эти два числа, видим, что $0,(20) > 0,(200)$, так как на третьем знаке после запятой у первого числа стоит цифра 2, а у второго — 0.

Мы ищем число $x$, такое что $0,200200... < x < 0,202020...$.

Мы можем сконструировать такое число. Оно должно начинаться с $0,20$. Третья цифра после запятой должна быть больше 0 (как у меньшего числа), но меньше 2 (как у большего числа). Возьмем, например, цифру 1. Получим число, начинающееся на $0,201$. Чтобы сделать его периодической дробью, можно взять, например, $0,201(0)$ (что то же самое, что и $0,201$) или $0,20(1)$.

Возьмем $x = 0,20(1) = 0,20111...$.

Проверим неравенство: $0,200200... < 0,20111... < 0,202020...$. Неравенство верное.

Ответ: $0,20(1)$.

в) Нам нужно найти периодическую дробь между числами $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$.

Сначала представим эти обыкновенные дроби в виде десятичных:

$\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0,333... = 0,(3)$

$\frac{1}{2} = 0,5$ (или $0,5(0)$)

Мы ищем число $x$, такое что $0,(3) < x < 0,5$. То есть $0,333... < x < 0,500...$.

Любое число, начинающееся с $0,4...$ будет подходить. Возьмем, например, периодическую дробь $0,4(5)$.

$0,4(5) = 0,4555...$

Проверим неравенство: $0,333... < 0,4555... < 0,5$. Неравенство верное.

Ответ: $0,4(5)$.

г) Нам нужно найти периодическую дробь между числами $0,12$ и $0,13$.

Мы ищем число $x$, такое что $0,12 < x < 0,13$.

Это эквивалентно поиску числа между $0,12000...$ и $0,13000...$.

Любое число, которое начинается с $0,12$ и имеет после этого хотя бы одну ненулевую цифру, будет больше $0,12$ и (если оно не слишком большое) меньше $0,13$. Например, $0,121$, $0,125$, $0,129$.

Выберем периодическую дробь. Например, $0,12(3)$.

$0,12(3) = 0,123333...$

Проверим неравенство: $0,12 < 0,123333... < 0,13$. Неравенство верное.

Ответ: $0,12(3)$.

5 Представьте в виде обыкновенной дроби периодическую дробь и затем проверьте себя, выполнив деление числителя на знаменатель (используйте калькулятор):

а) $0,(6)$;

б) $0,(12)$;

в) $1,(135)$;

г) $0,2(36)$;

д) $2,31(4)$.

а) 0,(6);

Пусть $x = 0,(6) = 0,666...$
Так как в периоде одна цифра, умножим обе части уравнения на 10: $10x = 6,666...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 6,666... - 0,666...$
$9x = 6$
$x = \frac{6}{9}$
Сократим дробь на 3: $x = \frac{2}{3}$
Проверка на калькуляторе: $2 \div 3 = 0,666...$

Ответ: $\frac{2}{3}$

б) 0,(12);

Пусть $x = 0,(12) = 0,121212...$
Так как в периоде две цифры, умножим обе части уравнения на 100: $100x = 12,121212...$
Вычтем из второго уравнения первое: $100x - x = 12,1212... - 0,1212...$
$99x = 12$
$x = \frac{12}{99}$
Сократим дробь на 3: $x = \frac{4}{33}$
Проверка на калькуляторе: $4 \div 33 = 0,121212...$

Ответ: $\frac{4}{33}$

в) 1,(135);

Представим число в виде суммы целой и дробной частей: $1,(135) = 1 + 0,(135)$.
Преобразуем периодическую дробь $0,(135)$. Пусть $x = 0,(135) = 0,135135...$
Так как в периоде три цифры, умножим обе части на 1000: $1000x = 135,135135...$
Вычтем из второго уравнения первое: $1000x - x = 135,135... - 0,135...$
$999x = 135$
$x = \frac{135}{999}$
Сократим дробь. Сумма цифр числителя ($1+3+5=9$) и знаменателя ($9+9+9=27$) делится на 9, поэтому сокращаем на 9: $x = \frac{135 \div 9}{999 \div 9} = \frac{15}{111}$
Теперь сумма цифр числителя ($1+5=6$) и знаменателя ($1+1+1=3$) делится на 3, поэтому сокращаем на 3: $x = \frac{15 \div 3}{111 \div 3} = \frac{5}{37}$
Теперь добавим целую часть: $1 + \frac{5}{37} = \frac{37}{37} + \frac{5}{37} = \frac{42}{37}$
Проверка на калькуляторе: $42 \div 37 \approx 1,135135...$

Ответ: $\frac{42}{37}$

г) 0,2(36);

Это смешанная периодическая дробь. Пусть $x = 0,2(36) = 0,2363636...$
Умножим на 10, чтобы "освободить" от периода непериодическую часть: $10x = 2,(36) = 2,363636...$
Умножим исходное уравнение на 1000 (на 10, чтобы выделить непериодическую часть, и на 100, так как в периоде 2 цифры), чтобы сдвинуть запятую за первый период: $1000x = 236,(36) = 236,363636...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое: $1000x - 10x = 236,3636... - 2,3636...$
$990x = 234$
$x = \frac{234}{990}$
Сократим дробь. Оба числа делятся на 2: $x = \frac{117}{495}$. Сумма цифр числителя ($1+1+7=9$) и знаменателя ($4+9+5=18$) делится на 9. Сократим на 9: $x = \frac{13}{55}$.
Проверка на калькуляторе: $13 \div 55 \approx 0,2363636...$

Ответ: $\frac{13}{55}$

д) 2,31(4);

Представим число в виде суммы целой и дробной частей: $2,31(4) = 2 + 0,31(4)$.
Преобразуем смешанную периодическую дробь $0,31(4)$. Пусть $x = 0,31(4) = 0,31444...$
Умножим на 100, чтобы в целой части оказались цифры до периода: $100x = 31,(4) = 31,444...$
Умножим исходное уравнение на 1000 (на 100, так как до периода две цифры, и на 10, так как в периоде одна цифра), чтобы сдвинуть запятую за первый период: $1000x = 314,(4) = 314,444...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое: $1000x - 100x = 314,444... - 31,444...$
$900x = 283$
$x = \frac{283}{900}$
Дробь является несократимой.
Теперь добавим целую часть: $2 + \frac{283}{900} = \frac{2 \cdot 900}{900} + \frac{283}{900} = \frac{1800 + 283}{900} = \frac{2083}{900}$
Проверка на калькуляторе: $2083 \div 900 \approx 2,31444...$

Ответ: $\frac{2083}{900}$

6 Представьте в виде обыкновенной дроби:

а) $0,111...$

б) $0,101010...$

в) $0,010101...$

а) Чтобы представить периодическую дробь $0,111...$ в виде обыкновенной дроби, обозначим её через $x$:

$x = 0,111...$

Период этой дроби состоит из одной цифры (1). Умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо:

$10x = 1,111...$

Теперь вычтем из нового уравнения исходное, чтобы избавиться от бесконечной дробной части:

$10x - x = 1,111... - 0,111...$

$9x = 1$

Отсюда находим значение $x$:

$x = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

б) Обозначим периодическую дробь $0,101010...$ через $x$:

$x = 0,101010...$

Период этой дроби состоит из двух цифр (10). Умножим обе части уравнения на $10^2 = 100$, чтобы сдвинуть запятую на два знака вправо:

$100x = 10,101010...$

Вычтем из полученного уравнения исходное:

$100x - x = 10,101010... - 0,101010...$

$99x = 10$

Находим $x$:

$x = \frac{10}{99}$

Ответ: $\frac{10}{99}$

в) Обозначим периодическую дробь $0,010101...$ через $x$:

$x = 0,010101...$

Период этой дроби состоит из двух цифр (01). Умножим обе части уравнения на $10^2 = 100$, чтобы сдвинуть запятую на два знака вправо:

$100x = 1,010101...$

Вычтем из полученного уравнения исходное:

$100x - x = 1,010101... - 0,010101...$

$99x = 1$

Находим $x$:

$x = \frac{1}{99}$

Ответ: $\frac{1}{99}$

Найдите правило, по которому составлена дробь, и определите, рациональным или иррациональным является соответствующее число:

а) 0,303003000300003...;

б) 0,300300300...;

в) 0,246810121416...;

г) 0,24682468... .

а) 0,303003000300003...

Правило: Последовательность цифр после запятой формируется следующим образом: за цифрой 3 следует один 0, затем снова цифра 3, за которой следуют два 0, затем цифра 3, за которой следуют три 0, и так далее. Каждый раз количество нулей между тройками увеличивается на единицу.

Определение типа числа: Рациональное число имеет либо конечную, либо бесконечную периодическую десятичную запись. В данном случае десятичная дробь является бесконечной. Однако она не является периодической, так как невозможно выделить повторяющуюся группу цифр (период). Из-за постоянно увеличивающегося количества нулей любая выбранная последовательность цифр рано или поздно перестанет повторяться. Следовательно, это число является иррациональным.

Ответ: Правило – за каждой последующей цифрой 3 следует на один 0 больше, чем за предыдущей. Число является иррациональным.

б) 0,300300300...

Правило: В десятичной записи этого числа повторяется группа цифр "300".

Определение типа числа: Это число является бесконечной периодической десятичной дробью с периодом "300". Любая бесконечная периодическая дробь представляет собой рациональное число. Чтобы это доказать, представим число в виде обыкновенной дроби. Пусть $x = 0,300300...$ Умножим обе части на 1000 (так как в периоде 3 цифры): $1000x = 300,300300...$ Вычтем из второго уравнения первое: $1000x - x = 300,300300... - 0,300300...$ $999x = 300$ $x = \frac{300}{999} = \frac{100}{333}$ Так как число можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, оно является рациональным.

Ответ: Правило – повторяется группа цифр "300". Число является рациональным.

в) 0,246810121416...

Правило: Десятичная дробь образована последовательной записью всех чётных натуральных чисел: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 и так далее.

Определение типа числа: Эта дробь является бесконечной, так как существует бесконечно много чётных чисел. Она также является непериодической. Периода нет, поскольку количество цифр в последовательно записываемых чётных числах со временем увеличивается (например, после однозначных чисел 2, 4, 6, 8 идут двузначные 10, 12, ..., затем трёхзначные 100, 102 и т.д.). Это нарушает возможность любого периодического повторения. Следовательно, число является иррациональным.

Ответ: Правило – последовательная запись всех чётных натуральных чисел. Число является иррациональным.

г) 0,246824682468...

Правило: В десятичной записи этого числа повторяется группа цифр "2468".

Определение типа числа: Это число является бесконечной периодической десятичной дробью с периодом "2468". Как и в пункте б), любая периодическая дробь является рациональным числом. Представим его в виде обыкновенной дроби: Пусть $x = 0,24682468...$ Умножим обе части на 10000 (так как в периоде 4 цифры): $10000x = 2468,24682468...$ Вычтем из второго уравнения первое: $10000x - x = 2468,24682468... - 0,24682468...$ $9999x = 2468$ $x = \frac{2468}{9999}$ Число представлено в виде обыкновенной дроби, следовательно, оно рациональное.

Ответ: Правило – повторяется группа цифр "2468". Число является рациональным.

8 Придумайте два рациональных и два иррациональных числа, заключённые между числами $5$ и $5,1$.

Два рациональных числа

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Любая конечная или периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Нам необходимо найти два числа, которые больше 5, но меньше 5,1.

1. Выберем число 5,01. Это число удовлетворяет неравенству $5 < 5,01 < 5,1$. Его можно представить в виде дроби $501/100$, поэтому оно является рациональным.

2. Выберем число 5,08. Это число также удовлетворяет неравенству $5 < 5,08 < 5,1$. Его можно представить в виде дроби $508/100$ (или после сокращения $127/25$), поэтому оно также является рациональным.

Ответ: 5,01 и 5,08.

Два иррациональных числа

Иррациональное число — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби $m/n$. Десятичное представление иррационального числа является бесконечной непериодической дробью.

Чтобы найти иррациональные числа в заданном промежутке $(5; 5,1)$, удобно воспользоваться свойством квадратного корня. Если $a < b$ для положительных $a$ и $b$, то $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. Мы ищем иррациональное число $x$ такое, что $5 < x < 5,1$. Возведем все части этого двойного неравенства в квадрат:
$5^2 < x^2 < 5,1^2$
$25 < x^2 < 26,01$

Теперь достаточно выбрать любое число из интервала $(25; 26,01)$, которое не является полным квадратом, и извлечь из него квадратный корень. Полученное число будет иррациональным и будет лежать в искомом интервале.

1. Возьмем число 26. Оно лежит в интервале $(25; 26,01)$. Число $\sqrt{26}$ является иррациональным, и для него выполняется неравенство $\sqrt{25} < \sqrt{26} < \sqrt{26,01}$, то есть $5 < \sqrt{26} < 5,1$. Приблизительное значение: $\sqrt{26} \approx 5,099...$

2. Возьмем число 25,5. Оно также лежит в интервале $(25; 26,01)$. Число $\sqrt{25,5}$ является иррациональным, и для него выполняется неравенство $\sqrt{25} < \sqrt{25,5} < \sqrt{26,01}$, то есть $5 < \sqrt{25,5} < 5,1$. Приблизительное значение: $\sqrt{25,5} \approx 5,049...$

Ответ: $\sqrt{26}$ и $\sqrt{25,5}$.

Определите, может ли сумма:

а) двух периодических дробей быть непериодической;

б) двух непериодических дробей быть периодической;

в) двух периодических дробей быть периодической.

а) двух периодических дробей быть непериодической;

Любая периодическая десятичная дробь является представлением рационального числа. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Множество рациональных чисел замкнуто относительно операции сложения, это означает, что сумма двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.
Пусть у нас есть две периодические дроби, которые равны рациональным числам $r_1 = a/b$ и $r_2 = c/d$. Их сумма равна $r_1 + r_2 = a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)$. Так как $a, b, c, d$ — целые числа, то $ad+bc$ и $bd$ также являются целыми числами, а значит, их сумма — рациональное число.
Непериодическая десятичная дробь представляет иррациональное число. Так как сумма двух рациональных чисел всегда рациональна, она не может быть иррациональной. Следовательно, сумма двух периодических дробей не может быть непериодической дробью.

Ответ: не может.

б) двух непериодических дробей быть периодической;

Непериодическая десятичная дробь представляет иррациональное число. Периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Вопрос заключается в том, может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом. Да, может.
Рассмотрим простой пример. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным, и его десятичное представление является непериодической дробью. Число $-\sqrt{2}$ также является иррациональным. Их сумма: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$. Число 0 является рациональным, и его можно представить в виде периодической дроби $0,000... = 0,(0)$.
Другой пример: число $\pi$ является непериодической дробью. Число $1 - \pi$ также является непериодической дробью (если бы оно было рациональным, то и $\pi$ было бы рациональным, что неверно). Их сумма равна $\pi + (1 - \pi) = 1$. Число 1 — рациональное, и его можно записать как периодическую дробь $1,(0)$ или $0,(9)$.
Таким образом, сумма двух непериодических дробей может быть периодической.

Ответ: может.

в) двух периодических дробей быть периодической.

Как было показано в пункте а), сумма двух периодических дробей (которые являются рациональными числами) всегда является рациональным числом. Любое рациональное число может быть представлено в виде либо конечной, либо периодической десятичной дроби. Конечную десятичную дробь можно считать частным случаем периодической (например, $0,5 = 0,5000... = 0,5(0)$). Следовательно, сумма двух периодических дробей всегда является периодической дробью.
Приведем пример: сложим две периодические дроби $0,(3)$ и $0,(1)$.
$0,(3) = 1/3$ и $0,(1) = 1/9$.
Их сумма равна $1/3 + 1/9 = 3/9 + 1/9 = 4/9$.
Чтобы перевести $4/9$ в десятичную дробь, разделим 4 на 9, получим $0,444... = 0,(4)$, что является периодической дробью.

Ответ: может.