Номер 5, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Переодические и непереодические бесконечные десятичные дроби. Глава 1. Неравенства - номер 5, страница 40.

5 Представьте в виде обыкновенной дроби периодическую дробь и затем проверьте себя, выполнив деление числителя на знаменатель (используйте калькулятор):

а) $0,(6)$;

б) $0,(12)$;

в) $1,(135)$;

г) $0,2(36)$;

д) $2,31(4)$.

а) 0,(6);

Пусть $x = 0,(6) = 0,666...$
Так как в периоде одна цифра, умножим обе части уравнения на 10: $10x = 6,666...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 6,666... - 0,666...$
$9x = 6$
$x = \frac{6}{9}$
Сократим дробь на 3: $x = \frac{2}{3}$
Проверка на калькуляторе: $2 \div 3 = 0,666...$

Ответ: $\frac{2}{3}$

б) 0,(12);

Пусть $x = 0,(12) = 0,121212...$
Так как в периоде две цифры, умножим обе части уравнения на 100: $100x = 12,121212...$
Вычтем из второго уравнения первое: $100x - x = 12,1212... - 0,1212...$
$99x = 12$
$x = \frac{12}{99}$
Сократим дробь на 3: $x = \frac{4}{33}$
Проверка на калькуляторе: $4 \div 33 = 0,121212...$

Ответ: $\frac{4}{33}$

в) 1,(135);

Представим число в виде суммы целой и дробной частей: $1,(135) = 1 + 0,(135)$.
Преобразуем периодическую дробь $0,(135)$. Пусть $x = 0,(135) = 0,135135...$
Так как в периоде три цифры, умножим обе части на 1000: $1000x = 135,135135...$
Вычтем из второго уравнения первое: $1000x - x = 135,135... - 0,135...$
$999x = 135$
$x = \frac{135}{999}$
Сократим дробь. Сумма цифр числителя ($1+3+5=9$) и знаменателя ($9+9+9=27$) делится на 9, поэтому сокращаем на 9: $x = \frac{135 \div 9}{999 \div 9} = \frac{15}{111}$
Теперь сумма цифр числителя ($1+5=6$) и знаменателя ($1+1+1=3$) делится на 3, поэтому сокращаем на 3: $x = \frac{15 \div 3}{111 \div 3} = \frac{5}{37}$
Теперь добавим целую часть: $1 + \frac{5}{37} = \frac{37}{37} + \frac{5}{37} = \frac{42}{37}$
Проверка на калькуляторе: $42 \div 37 \approx 1,135135...$

Ответ: $\frac{42}{37}$

г) 0,2(36);

Это смешанная периодическая дробь. Пусть $x = 0,2(36) = 0,2363636...$
Умножим на 10, чтобы "освободить" от периода непериодическую часть: $10x = 2,(36) = 2,363636...$
Умножим исходное уравнение на 1000 (на 10, чтобы выделить непериодическую часть, и на 100, так как в периоде 2 цифры), чтобы сдвинуть запятую за первый период: $1000x = 236,(36) = 236,363636...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое: $1000x - 10x = 236,3636... - 2,3636...$
$990x = 234$
$x = \frac{234}{990}$
Сократим дробь. Оба числа делятся на 2: $x = \frac{117}{495}$. Сумма цифр числителя ($1+1+7=9$) и знаменателя ($4+9+5=18$) делится на 9. Сократим на 9: $x = \frac{13}{55}$.
Проверка на калькуляторе: $13 \div 55 \approx 0,2363636...$

Ответ: $\frac{13}{55}$

д) 2,31(4);

Представим число в виде суммы целой и дробной частей: $2,31(4) = 2 + 0,31(4)$.
Преобразуем смешанную периодическую дробь $0,31(4)$. Пусть $x = 0,31(4) = 0,31444...$
Умножим на 100, чтобы в целой части оказались цифры до периода: $100x = 31,(4) = 31,444...$
Умножим исходное уравнение на 1000 (на 100, так как до периода две цифры, и на 10, так как в периоде одна цифра), чтобы сдвинуть запятую за первый период: $1000x = 314,(4) = 314,444...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое: $1000x - 100x = 314,444... - 31,444...$
$900x = 283$
$x = \frac{283}{900}$
Дробь является несократимой.
Теперь добавим целую часть: $2 + \frac{283}{900} = \frac{2 \cdot 900}{900} + \frac{283}{900} = \frac{1800 + 283}{900} = \frac{2083}{900}$
Проверка на калькуляторе: $2083 \div 900 \approx 2,31444...$

Ответ: $\frac{2083}{900}$