Номер 7, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Переодические и непереодические бесконечные десятичные дроби. Глава 1. Неравенства - номер 7, страница 40.

Найдите правило, по которому составлена дробь, и определите, рациональным или иррациональным является соответствующее число:

а) 0,303003000300003...;

б) 0,300300300...;

в) 0,246810121416...;

г) 0,24682468... .

а) 0,303003000300003...

Правило: Последовательность цифр после запятой формируется следующим образом: за цифрой 3 следует один 0, затем снова цифра 3, за которой следуют два 0, затем цифра 3, за которой следуют три 0, и так далее. Каждый раз количество нулей между тройками увеличивается на единицу.

Определение типа числа: Рациональное число имеет либо конечную, либо бесконечную периодическую десятичную запись. В данном случае десятичная дробь является бесконечной. Однако она не является периодической, так как невозможно выделить повторяющуюся группу цифр (период). Из-за постоянно увеличивающегося количества нулей любая выбранная последовательность цифр рано или поздно перестанет повторяться. Следовательно, это число является иррациональным.

Ответ: Правило – за каждой последующей цифрой 3 следует на один 0 больше, чем за предыдущей. Число является иррациональным.

б) 0,300300300...

Правило: В десятичной записи этого числа повторяется группа цифр "300".

Определение типа числа: Это число является бесконечной периодической десятичной дробью с периодом "300". Любая бесконечная периодическая дробь представляет собой рациональное число. Чтобы это доказать, представим число в виде обыкновенной дроби. Пусть $x = 0,300300...$ Умножим обе части на 1000 (так как в периоде 3 цифры): $1000x = 300,300300...$ Вычтем из второго уравнения первое: $1000x - x = 300,300300... - 0,300300...$ $999x = 300$ $x = \frac{300}{999} = \frac{100}{333}$ Так как число можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, оно является рациональным.

Ответ: Правило – повторяется группа цифр "300". Число является рациональным.

в) 0,246810121416...

Правило: Десятичная дробь образована последовательной записью всех чётных натуральных чисел: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 и так далее.

Определение типа числа: Эта дробь является бесконечной, так как существует бесконечно много чётных чисел. Она также является непериодической. Периода нет, поскольку количество цифр в последовательно записываемых чётных числах со временем увеличивается (например, после однозначных чисел 2, 4, 6, 8 идут двузначные 10, 12, ..., затем трёхзначные 100, 102 и т.д.). Это нарушает возможность любого периодического повторения. Следовательно, число является иррациональным.

Ответ: Правило – последовательная запись всех чётных натуральных чисел. Число является иррациональным.

г) 0,246824682468...

Правило: В десятичной записи этого числа повторяется группа цифр "2468".

Определение типа числа: Это число является бесконечной периодической десятичной дробью с периодом "2468". Как и в пункте б), любая периодическая дробь является рациональным числом. Представим его в виде обыкновенной дроби: Пусть $x = 0,24682468...$ Умножим обе части на 10000 (так как в периоде 4 цифры): $10000x = 2468,24682468...$ Вычтем из второго уравнения первое: $10000x - x = 2468,24682468... - 0,24682468...$ $9999x = 2468$ $x = \frac{2468}{9999}$ Число представлено в виде обыкновенной дроби, следовательно, оно рациональное.

Ответ: Правило – повторяется группа цифр "2468". Число является рациональным.