Номер 3, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Переодические и непереодические бесконечные десятичные дроби. Глава 1. Неравенства - номер 3, страница 40.

3 Сравните:

а) $0,(7)$ и $0,(71)$;

б) $8,(215)$ и $8,2(15)$;

в) $0,(3)$ и $\frac{1}{3}$;

г) $1,4$ и $1,(4)$.

а) Для сравнения чисел $0,(7)$ и $0,(71)$ запишем их в развернутом виде:

$0,(7) = 0,7777...$

$0,(71) = 0,7171...$

Сравниваем эти числа поразрядно, начиная слева направо. Цифры в разряде десятых у обоих чисел одинаковы и равны 7. Переходим к следующему разряду — сотым. У числа $0,(7)$ в разряде сотых стоит цифра 7, а у числа $0,(71)$ — цифра 1. Так как $7 > 1$, то и число $0,(7)$ больше числа $0,(71)$.

Ответ: $0,(7) > 0,(71)$.

б) Для сравнения чисел $8,(215)$ и $8,2(15)$ запишем их в развернутом виде:

$8,(215) = 8,215215...$

$8,2(15) = 8,2151515...$

Сравниваем эти числа поразрядно. Целые части и первые три цифры после запятой ($215$) у них совпадают. Сравниваем четвертые цифры после запятой: у числа $8,(215)$ это 2 (первая цифра периода 215), а у числа $8,2(15)$ это 1 (первая цифра периода 15). Так как $2 > 1$, то число $8,(215)$ больше числа $8,2(15)$.

Ответ: $8,(215) > 8,2(15)$.

в) Для сравнения чисел $0,(3)$ и $\frac{1}{3}$ преобразуем обыкновенную дробь $\frac{1}{3}$ в десятичную. для этого разделим числитель 1 на знаменатель 3:

$1 \div 3 = 0,333...$

Полученная бесконечная десятичная дробь является периодической и записывается как $0,(3)$. Таким образом, данные числа равны.

Также можно преобразовать периодическую дробь $0,(3)$ в обыкновенную. Пусть $x = 0,(3)$. Тогда $10x = 3,(3)$. Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 3,(3) - 0,(3)$, что дает $9x = 3$. Отсюда $x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $0,(3) = \frac{1}{3}$.

г) Для сравнения чисел $1,4$ и $1,(4)$ запишем их в развернутом виде, помня, что конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной с периодом 0:

$1,4 = 1,4000...$

$1,(4) = 1,4444...$

Сравниваем эти числа поразрядно. Целые части и цифры в разряде десятых у них совпадают. Сравниваем цифры в разряде сотых: у числа $1,4$ это 0, а у числа $1,(4)$ это 4. Так как $0 < 4$, то число $1,4$ меньше числа $1,(4)$.

Ответ: $1,4 < 1,(4)$.