Номер 109, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.7 Что означают слова «С точностью до...». Глава 1. Неравенства - номер 109, страница 37.

109 а) Используя данные таблицы масс планет Солнечной системы, определите, какова точность (погрешность) и относительная погрешность приведённого значения массы Юпитера.

Совет. При вычислениях используйте калькулятор.

б) Выберите из этой таблицы самостоятельно какую-нибудь планету и решите такую же задачу, как в пункте «а».

Планета	Средний радиус, км	Масса, кг
Меркурий	2437	$3,304 \cdot 10^{23}$
Венера	6050	$4,872 \cdot 10^{24}$
Земля	6371	$5,978 \cdot 10^{24}$
Марс	3388	$6,423 \cdot 10^{23}$
Юпитер	69 720	$1,900 \cdot 10^{27}$
Сатурн	57 900	$5,689 \cdot 10^{26}$
Уран	24 740	$8,72 \cdot 10^{25}$
Нептун	25 000	$1,03 \cdot 10^{26}$
Солнце	696 000	$1,99 \cdot 10^{30}$

а)

Используя данные из таблицы, найдем массу Юпитера: $m_Ю = 1,900 \cdot 10^{27}$ кг. В русской научной и технической литературе запятая используется в качестве десятичного разделителя. Следовательно, значение массы следует понимать как $1.900 \cdot 10^{27}$ кг.

Мантисса числа $1.900$ записана с четырьмя значащими цифрами, с точностью до тысячных долей. Это означает, что последняя значащая цифра (последний ноль) находится в разряде тысячных. Цена этого разряда составляет $0.001$. Точность, или абсолютная погрешность, приближенного значения равна половине цены единицы последнего разряда, умноженной на степенную часть числа: $\Delta m_Ю = 0.5 \cdot (0.001 \cdot 10^{27}) = 0.0005 \cdot 10^{27} = 5 \cdot 10^{23}$ кг.

Относительная погрешность вычисляется как отношение абсолютной погрешности к самому значению массы: $\epsilon = \frac{\Delta m_Ю}{m_Ю} = \frac{5 \cdot 10^{23} \text{ кг}}{1.900 \cdot 10^{27} \text{ кг}} = \frac{5}{1.9} \cdot 10^{-4}$.

Выполним вычисления: $\epsilon = \frac{50}{19} \cdot 10^{-4} \approx 2.63157... \cdot 10^{-4} \approx 0.000263157...$ Округлим результат до трех значащих цифр: $\epsilon \approx 0.000263$. Для выражения относительной погрешности в процентах, умножим полученное значение на 100%: $\epsilon_{\%} \approx 0.000263 \cdot 100\% = 0.0263\%$.

Ответ: Точность (абсолютная погрешность) массы Юпитера составляет $5 \cdot 10^{23}$ кг, а относительная погрешность приблизительно равна $0.000263$ или $0.0263\%$.

б)

Выберем для решения этой задачи планету Марс. Согласно таблице, ее масса составляет $m_М = 6,423 \cdot 10^{23}$ кг, что следует читать как $6.423 \cdot 10^{23}$ кг.

Число $6.423$ записано с точностью до тысячных долей. Цена последнего разряда равна $0.001$. Абсолютная погрешность массы Марса равна: $\Delta m_М = 0.5 \cdot (0.001 \cdot 10^{23}) = 0.0005 \cdot 10^{23} = 5 \cdot 10^{19}$ кг.

Теперь найдем относительную погрешность: $\epsilon = \frac{\Delta m_М}{m_М} = \frac{5 \cdot 10^{19} \text{ кг}}{6.423 \cdot 10^{23} \text{ кг}} = \frac{5}{6.423} \cdot 10^{-4}$.

Выполним вычисления: $\epsilon \approx 0.77845... \cdot 10^{-4} \approx 0.000077845...$ Округлим результат до трех значащих цифр: $\epsilon \approx 0.0000778$. Выразим в процентах: $\epsilon_{\%} \approx 0.0000778 \cdot 100\% = 0.00778\%$.

Ответ: Для Марса точность (абсолютная погрешность) массы составляет $5 \cdot 10^{19}$ кг, а относительная погрешность приблизительно равна $0.0000778$ или $0.00778\%$.