Номер 110, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.7 Что означают слова «С точностью до...». Глава 1. Неравенства - номер 110, страница 37.

110 При измерении толщины одной и той же металлической детали штангенциркулем и микрометром полученные результаты были записаны соответственно в виде: $l \approx 2,5$ мм, $l \approx 2,48$ мм. В каком случае точность измерения выше? Найдите для каждого результата погрешность и относительную погрешность измерения.

Чтобы определить, какое из измерений точнее, и найти погрешности, необходимо для каждого случая рассчитать абсолютную и относительную погрешности. Точность измерения тем выше, чем меньше значение погрешности. По правилам, абсолютная погрешность прямого измерения принимается равной половине цены деления шкалы измерительного прибора.

Для измерения штангенциркулем

Результат измерения $l_1 \approx 2,5$ мм. Запись результата с одной значащей цифрой после запятой указывает на то, что цена деления прибора составляет $0,1$ мм.
Абсолютная погрешность ($\Delta l_1$) равна половине цены деления:
$\Delta l_1 = \frac{0,1 \text{ мм}}{2} = 0,05$ мм.
Относительная погрешность ($\epsilon_1$) — это отношение абсолютной погрешности к измеренному значению:
$\epsilon_1 = \frac{\Delta l_1}{l_1} = \frac{0,05 \text{ мм}}{2,5 \text{ мм}} = 0,02$.
В процентах это составляет $0,02 \cdot 100\% = 2\%$.
Ответ: погрешность составляет $0,05$ мм, относительная погрешность — $2\%$.

Для измерения микрометром

Результат измерения $l_2 \approx 2,48$ мм. Запись результата с двумя значащими цифрами после запятой указывает на то, что цена деления прибора составляет $0,01$ мм.
Абсолютная погрешность ($\Delta l_2$) равна:
$\Delta l_2 = \frac{0,01 \text{ мм}}{2} = 0,005$ мм.
Относительная погрешность ($\epsilon_2$) равна:
$\epsilon_2 = \frac{\Delta l_2}{l_2} = \frac{0,005 \text{ мм}}{2,48 \text{ мм}} \approx 0,002016$.
В процентах это составляет приблизительно $0,002016 \cdot 100\% \approx 0,2\%$.
Ответ: погрешность составляет $0,005$ мм, относительная погрешность — приблизительно $0,2\%$.

В каком случае точность измерения выше?

Точность измерения выше в том случае, где меньше относительная погрешность. Сравним полученные значения:
Относительная погрешность штангенциркуля: $\epsilon_1 = 2\%$.
Относительная погрешность микрометра: $\epsilon_2 \approx 0,2\%$.
Поскольку $0,2\% < 2\%$, измерение, выполненное с помощью микрометра, является более точным. К этому же выводу приводит и сравнение абсолютных погрешностей ($0,005$ мм $< 0,05$ мм).
Ответ: точность измерения выше при использовании микрометра.