Номер 105, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.7 Что означают слова «С точностью до...». Глава 1. Неравенства - номер 105, страница 36.

105 Как вы думаете, позволяют ли данные экзитпола (опроса граждан на выходе из избирательного участка после голосования) с достаточной уверенностью прогнозировать победу кандидата А на выборах из двух претендентов, если:

а) за кандидата А высказались $57 \pm 5\%$ избирателей;

за кандидата В — $55 \pm 5\%;$

б) за кандидата А высказались $28 \pm 4\%$ избирателей;

за кандидата В — $17 \pm 4\%;$

в) за кандидата А высказались $31 \pm 3\%$ избирателей;

за кандидата В — $26 \pm 3\%$?

Чтобы определить, можно ли с достаточной уверенностью прогнозировать победу кандидата А, необходимо сравнить доверительные интервалы (диапазоны возможных значений с учетом погрешности) для обоих кандидатов. Победу кандидата А можно уверенно прогнозировать только в том случае, если его минимально возможный процент голосов будет больше, чем максимально возможный процент голосов кандидата Б.

Пусть $P_A$ — процент голосов за кандидата А, а $P_B$ — за кандидата Б. Условие для уверенной победы кандидата А: $min(P_A) > max(P_B)$.

а) за кандидата А высказались $57 \pm 5~\%$ избирателей; за кандидата Б — $55 \pm 5~\%$

Найдем доверительный интервал для кандидата А:

• Минимальный процент: $57\% - 5\% = 52\%$
• Максимальный процент: $57\% + 5\% = 62\%$

Таким образом, реальный результат кандидата А находится в интервале $P_A \in [52\%; 62\%]$.

Найдем доверительный интервал для кандидата Б:

• Минимальный процент: $55\% - 5\% = 50\%$
• Максимальный процент: $55\% + 5\% = 60\%$

Таким образом, реальный результат кандидата Б находится в интервале $P_B \in [50\%; 60\%]$.

Теперь сравним минимальный возможный результат кандидата А ($52\%$) с максимальным возможным результатом кандидата Б ($60\%$).

Поскольку $52\% < 60\%$, то есть $min(P_A) < max(P_B)$, интервалы поддержки кандидатов пересекаются. Существует сценарий, при котором кандидат Б может набрать больше голосов, чем кандидат А (например, А — $53\%$, а Б — $58\%$). Следовательно, сделать однозначный прогноз невозможно.

Ответ: нет, данные экзитпола не позволяют с достаточной уверенностью прогнозировать победу кандидата А.

б) за кандидата А высказались $28 \pm 4~\%$ избирателей; за кандидата Б — $17 \pm 4~\%$

Найдем доверительный интервал для кандидата А:

• Минимальный процент: $28\% - 4\% = 24\%$
• Максимальный процент: $28\% + 4\% = 32\%$

Таким образом, реальный результат кандидата А находится в интервале $P_A \in [24\%; 32\%]$.

Найдем доверительный интервал для кандидата Б:

• Минимальный процент: $17\% - 4\% = 13\%$
• Максимальный процент: $17\% + 4\% = 21\%$

Таким образом, реальный результат кандидата Б находится в интервале $P_B \in [13\%; 21\%]$.

Сравним минимальный возможный результат кандидата А ($24\%$) с максимальным возможным результатом кандидата Б ($21\%$).

Поскольку $24\% > 21\%$, то есть $min(P_A) > max(P_B)$, доверительные интервалы не пересекаются. Даже в худшем для себя и лучшем для оппонента случае кандидат А набирает больше голосов.

Ответ: да, данные экзитпола позволяют с достаточной уверенностью прогнозировать победу кандидата А.

в) за кандидата А высказались $31 \pm 3~\%$ избирателей; за кандидата Б — $26 \pm 3~\%$

Найдем доверительный интервал для кандидата А:

• Минимальный процент: $31\% - 3\% = 28\%$
• Максимальный процент: $31\% + 3\% = 34\%$

Таким образом, реальный результат кандидата А находится в интервале $P_A \in [28\%; 34\%]$.

Найдем доверительный интервал для кандидата Б:

• Минимальный процент: $26\% - 3\% = 23\%$
• Максимальный процент: $26\% + 3\% = 29\%$

Таким образом, реальный результат кандидата Б находится в интервале $P_B \in [23\%; 29\%]$.

Сравним минимальный возможный результат кандидата А ($28\%$) с максимальным возможным результатом кандидата Б ($29\%$).

Поскольку $28\% < 29\%$, то есть $min(P_A) < max(P_B)$, интервалы поддержки кандидатов пересекаются. Существует сценарий, при котором кандидат Б может набрать больше голосов (например, А — $28.5\%$, а Б — $28.8\%$). Следовательно, сделать уверенный прогноз невозможно.

Ответ: нет, данные экзитпола не позволяют с достаточной уверенностью прогнозировать победу кандидата А.