Номер 99, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.6 Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 99, страница 33.

99ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) а) Проведите эксперимент: возьмите любую правильную дробь, большую нуля, и выясните, увеличивается она или уменьшается при прибавлении к числителю и знаменателю одного и того же натурального числа.
б) Запишите в буквенном виде установленную закономерность. Докажите записанное неравенство.

2) Проведите такое же исследование для неправильной дроби.

1) a) Проведем эксперимент с правильной дробью, большей нуля. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Возьмем, к примеру, дробь $ \frac{2}{3} $. Прибавим к ее числителю и знаменателю натуральное число, например, 5.

Исходная дробь: $ \frac{2}{3} $

Новая дробь: $ \frac{2+5}{3+5} = \frac{7}{8} $

Теперь сравним эти две дроби. Приведем их к общему знаменателю $ 3 \times 8 = 24 $:

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{16}{24} $

$ \frac{7}{8} = \frac{7 \times 3}{8 \times 3} = \frac{21}{24} $

Поскольку $ \frac{21}{24} > \frac{16}{24} $, то и $ \frac{7}{8} > \frac{2}{3} $. Дробь увеличилась.

Проведем еще один эксперимент с дробью $ \frac{1}{5} $ и числом 10:

Исходная дробь: $ \frac{1}{5} $

Новая дробь: $ \frac{1+10}{5+10} = \frac{11}{15} $

Сравним $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{11}{15} $. Общий знаменатель — 15.

$ \frac{1}{5} = \frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{3}{15} $

Поскольку $ \frac{11}{15} > \frac{3}{15} $, то и $ \frac{11}{15} > \frac{1}{5} $. Дробь снова увеличилась.

На основе экспериментов можно сделать вывод, что при прибавлении к числителю и знаменателю правильной дроби одного и того же натурального числа дробь увеличивается.

Ответ: При прибавлении к числителю и знаменателю правильной дроби одного и того же натурального числа дробь увеличивается.

1) b) Запишем установленную закономерность в буквенном виде и докажем ее.
Пусть дана правильная дробь $ \frac{a}{b} $, где $a$ и $b$ — натуральные числа, и по определению правильной дроби $ a < b $.
Пусть $n$ — натуральное число, которое мы прибавляем к числителю и знаменателю.
Новая дробь будет $ \frac{a+n}{b+n} $.
Установленная закономерность: $ \frac{a+n}{b+n} > \frac{a}{b} $.

Доказательство:

Чтобы сравнить дроби $ \frac{a+n}{b+n} $ и $ \frac{a}{b} $, вычтем одну из другой и определим знак разности:

$ \frac{a+n}{b+n} - \frac{a}{b} = \frac{(a+n)b - a(b+n)}{b(b+n)} = \frac{ab + nb - ab - na}{b(b+n)} = \frac{nb - na}{b(b+n)} = \frac{n(b - a)}{b(b+n)} $

Рассмотрим полученное выражение $ \frac{n(b-a)}{b(b+n)} $:
$n$ — натуральное число, значит $ n > 0 $.
Дробь $ \frac{a}{b} $ правильная, значит $ a < b $, следовательно, разность $ b - a > 0 $.
$b$ и $b+n$ также положительные числа, так как $b$ и $n$ — натуральные. Значит, их произведение $ b(b+n) > 0 $.

Таким образом, числитель $ n(b-a) $ — произведение двух положительных чисел, он положителен. Знаменатель $ b(b+n) $ также положителен. Частное двух положительных чисел есть число положительное:

$ \frac{n(b-a)}{b(b+n)} > 0 $

Следовательно, разность $ \frac{a+n}{b+n} - \frac{a}{b} > 0 $, а это означает, что $ \frac{a+n}{b+n} > \frac{a}{b} $. Неравенство доказано.

Ответ: Если $ \frac{a}{b} $ — правильная дробь ($a,b \in N, a<b$) и $n \in N$, то $ \frac{a+n}{b+n} > \frac{a}{b} $.

2) Проведем такое же исследование для неправильной дроби. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю ($ a \ge b $).

Случай 1: Числитель больше знаменателя ($ a > b $).

Проведем эксперимент. Возьмем дробь $ \frac{5}{2} $. Прибавим к числителю и знаменателю натуральное число, например, 3.

Исходная дробь: $ \frac{5}{2} = 2.5 $

Новая дробь: $ \frac{5+3}{2+3} = \frac{8}{5} = 1.6 $

Сравниваем: $ 2.5 > 1.6 $, значит $ \frac{5}{2} > \frac{8}{5} $. Дробь уменьшилась.

Докажем это в общем виде. Пусть дана неправильная дробь $ \frac{a}{b} $, где $ a > b $, и $n$ — натуральное число. Сравним $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{a+n}{b+n} $.
Рассмотрим разность, которую мы получили в пункте 1) б):

$ \frac{a+n}{b+n} - \frac{a}{b} = \frac{n(b - a)}{b(b+n)} $

В этом случае:
$n > 0$ (по условию $n$ — натуральное).
Поскольку $ a > b $, то разность $ b - a < 0 $.
Знаменатель $ b(b+n) > 0 $ (произведение натуральных чисел).

Числитель $ n(b-a) $ является произведением положительного числа на отрицательное, значит, он отрицателен. Знаменатель положителен. Частное отрицательного и положительного чисел есть число отрицательное:

$ \frac{n(b-a)}{b(b+n)} < 0 $

Следовательно, $ \frac{a+n}{b+n} - \frac{a}{b} < 0 $, а это означает, что $ \frac{a+n}{b+n} < \frac{a}{b} $. Неправильная дробь (у которой числитель больше знаменателя) уменьшается.

Случай 2: Числитель равен знаменателю ($ a = b $).

В этом случае дробь равна 1: $ \frac{a}{a} = 1 $.

Прибавим число $n$ к числителю и знаменателю:

$ \frac{a+n}{a+n} = 1 $

Дробь не изменилась. $ \frac{a+n}{a+n} = \frac{a}{a} $.

Это также следует из общей формулы разности: если $a=b$, то $b-a=0$, и вся разность $ \frac{n(b-a)}{b(b+n)} = 0 $.

Ответ: Если к числителю и знаменателю неправильной дроби прибавить одно и то же натуральное число, то:
- если числитель был больше знаменателя, дробь уменьшится;
- если числитель был равен знаменателю, дробь не изменится (останется равной 1).