Номер 96, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.6 Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 96, страница 33.

96 Докажите разными способами свойство почленного умножения неравенств одного знака с положительными числами (выберите какой-либо один из знаков неравенства).

Подсказка. 1) Сравните с нулём разность левой и правой частей доказываемого неравенства, применив приём «прибавить — вычесть». 2) Воспользуйтесь свойством транзитивности неравенств.

Сформулируем свойство, которое требуется доказать. Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, то получится верное неравенство.
Выберем для доказательства знак «больше» ($>$).
Дано: $a > b$ и $c > d$, где $a, b, c, d$ — положительные числа ($a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$).
Доказать: $ac > bd$.

Способ 1 (сравнение с нулём разности)

Этот способ основан на первой подсказке. Чтобы доказать, что $ac > bd$, достаточно показать, что их разность положительна, то есть $ac - bd > 0$.
Преобразуем выражение $ac - bd$, используя приём «прибавить и вычесть». Прибавим и вычтем одно и то же слагаемое, например $bc$ (также можно использовать $ad$):
$ac - bd = ac - bc + bc - bd$
Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(ac - bc) + (bc - bd) = c(a - b) + b(c - d)$
Проанализируем знак полученного выражения, исходя из условий задачи:
1. Из условия $a > b$ следует, что разность $a - b$ положительна: $a - b > 0$.
2. Из условия $c > d$ следует, что разность $c - d$ положительна: $c - d > 0$.
3. По условию числа $b$ и $c$ являются положительными: $b > 0$ и $c > 0$.
Рассмотрим каждое слагаемое в сумме $c(a - b) + b(c - d)$:
- Слагаемое $c(a - b)$ — это произведение двух положительных чисел ($c > 0$ и $a - b > 0$), значит, оно положительно: $c(a - b) > 0$.
- Слагаемое $b(c - d)$ — это произведение двух положительных чисел ($b > 0$ и $c - d > 0$), значит, оно также положительно: $b(c - d) > 0$.
Сумма двух положительных чисел всегда является положительным числом, следовательно:
$c(a - b) + b(c - d) > 0$
А это означает, что и исходная разность $ac - bd$ больше нуля:
$ac - bd > 0 \implies ac > bd$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Свойство доказано, так как разность левой и правой частей доказываемого неравенства ($ac - bd$) является положительным числом.

Способ 2 (использование транзитивности)

Этот способ основан на второй подсказке и использует свойство транзитивности для неравенств: если $x > y$ и $y > z$, то $x > z$.
Для доказательства неравенства $ac > bd$ мы найдем такое промежуточное выражение, которое меньше $ac$, но больше $bd$.
Начнём с неравенства $a > b$. Так как по условию $c$ — положительное число ($c > 0$), мы можем умножить обе части неравенства на $c$, сохранив его знак:
$a \cdot c > b \cdot c$, то есть $ac > bc$.
Теперь возьмём второе неравенство $c > d$. Так как по условию $b$ — положительное число ($b > 0$), мы можем умножить обе части этого неравенства на $b$, также сохранив его знак:
$c \cdot b > d \cdot b$, то есть $bc > bd$.
Мы получили два верных неравенства: $ac > bc$ и $bc > bd$.
Применяя свойство транзитивности, из того, что $ac$ больше $bc$, а $bc$ в свою очередь больше $bd$, мы можем заключить, что $ac$ больше $bd$:
$ac > bd$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Свойство доказано с использованием свойства умножения неравенства на положительное число и свойства транзитивности.