Страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

90 Сравните a и b, если:

а) $a - b = 0,3$;

б) $a - b = -10$;

в) $a - b = 1 - \sqrt{3}$;

г) $b - a = \sqrt{5} - 2$.

а) Чтобы сравнить числа $a$ и $b$, нужно определить знак их разности $a - b$. Если разность положительна, то первое число больше второго; если отрицательна, то первое число меньше второго. По условию дано, что $a - b = 0,3$. Так как $0,3 > 0$, то и разность $a - b$ положительна. Следовательно, $a > b$.
Ответ: $a > b$.

б) По условию дано, что $a - b = -10$. Так как $-10 < 0$, то разность $a - b$ отрицательна. Следовательно, $a < b$.
Ответ: $a < b$.

в) По условию дано, что $a - b = 1 - \sqrt{3}$. Чтобы определить знак этой разности, сравним числа $1$ и $\sqrt{3}$. Поскольку оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты: $1^2 = 1$
$(\sqrt{3})^2 = 3$
Так как $1 < 3$, то и $1 < \sqrt{3}$. Это означает, что разность $1 - \sqrt{3}$ является отрицательным числом. Поскольку $a - b < 0$, то $a < b$.
Ответ: $a < b$.

г) По условию дано, что $b - a = \sqrt{5} - 2$. Чтобы определить знак этой разности, сравним числа $\sqrt{5}$ и $2$. Поскольку оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты: $(\sqrt{5})^2 = 5$
$2^2 = 4$
Так как $5 > 4$, то и $\sqrt{5} > 2$. Это означает, что разность $\sqrt{5} - 2$ является положительным числом. Поскольку $b - a > 0$, то $b > a$, что равносильно $a < b$.
Ответ: $a < b$.

91 Определите, положительным или отрицательным является значение следующего выражения, если $a$, $b$ и $c$ — длины сторон треугольника:

а) $a + b - c$;

б) $a - b - c$;

в) $a + c - b$;

г) $c - a - b$.

Для определения знака каждого выражения воспользуемся свойством, известным как неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины оставшейся третьей стороны. Для треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ это означает, что должны выполняться три неравенства:

• $a + b > c$
• $a + c > b$
• $b + c > a$

Основываясь на этих неравенствах, проанализируем каждое выражение.

а) $a + b - c$

Из первого неравенства треугольника мы знаем, что $a + b > c$. Если из обеих частей этого неравенства вычесть $c$, то мы получим $a + b - c > c - c$, что упрощается до $a + b - c > 0$. Это означает, что значение выражения всегда положительное.

Ответ: положительное.

б) $a - b - c$

Это выражение можно переписать, вынеся минус за скобки: $a - (b + c)$. Из третьего неравенства треугольника известно, что $b + c > a$. Поскольку мы из меньшего числа ($a$) вычитаем большее число ($b + c$), результат будет отрицательным. Другой способ это показать — преобразовать неравенство $b + c > a$, вычтя из обеих частей $(b+c)$: $0 > a - (b+c)$, или $a - b - c < 0$. Следовательно, значение выражения отрицательное.

Ответ: отрицательное.

в) $a + c - b$

Здесь мы используем второе неравенство треугольника: $a + c > b$. По аналогии с пунктом (а), перенесем $b$ в левую часть, вычитая его из обеих частей неравенства: $a + c - b > b - b$, что дает нам $a + c - b > 0$. Значение выражения является положительным.

Ответ: положительное.

г) $c - a - b$

Это выражение можно представить в виде $c - (a + b)$. Согласно первому неравенству треугольника, $a + b > c$. Так как из меньшего числа ($c$) вычитается большее ($a+b$), результат будет отрицательным. Формально, из неравенства $a + b > c$ следует, что $0 > c - (a+b)$, или $c - a - b < 0$. Таким образом, значение этого выражения отрицательное.

Ответ: отрицательное.

92 Сравните с нулём:

а) $a^2 + b^2;$

б) $(a + b)^2;$

в) $-(a - b)^2;$

г) $a^2 + 1;$

д) $\frac{1}{a^2 + 1};$

е) $-\frac{1}{a^2 + 1}.$

а) Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Это означает, что $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$ для любых значений $a$ и $b$. Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом. Следовательно, $a^2 + b^2 \ge 0$. Выражение равно нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю, то есть $a^2 = 0$ и $b^2 = 0$, что возможно только при $a=0$ и $b=0$. Во всех остальных случаях выражение $a^2 + b^2$ строго больше нуля.
Ответ: Выражение $a^2 + b^2$ больше или равно нулю.

б) Выражение $(a + b)^2$ представляет собой квадрат суммы $a+b$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, $(a + b)^2 \ge 0$ для любых значений $a$ и $b$. Выражение равно нулю, когда основание степени равно нулю, то есть $a + b = 0$, или $a = -b$. Во всех остальных случаях выражение $(a + b)^2$ строго больше нуля.
Ответ: Выражение $(a + b)^2$ больше или равно нулю.

в) Рассмотрим выражение $(a - b)^2$. Это квадрат действительного числа, поэтому $(a - b)^2 \ge 0$. Исходное выражение представляет собой $-(a - b)^2$. Это число, противоположное неотрицательному числу. Число, противоположное неотрицательному, всегда является неположительным. Следовательно, $-(a - b)^2 \le 0$ для любых значений $a$ и $b$. Выражение равно нулю, когда $(a - b)^2 = 0$, то есть $a - b = 0$, или $a = b$. Во всех остальных случаях выражение $-(a - b)^2$ строго меньше нуля.
Ответ: Выражение $-(a - b)^2$ меньше или равно нулю.

г) Квадрат любого действительного числа $a$ неотрицателен: $a^2 \ge 0$. Минимальное значение $a^2$ равно 0 (при $a=0$). Прибавив 1 к неотрицательному числу, мы получим число, которое всегда больше или равно 1. $a^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $a^2 + 1 \ge 1$. Поскольку $1 > 0$, то выражение $a^2 + 1$ всегда строго больше нуля.
Ответ: Выражение $a^2 + 1$ больше нуля.

д) Рассмотрим знаменатель дроби: $a^2 + 1$. Как было показано в пункте г), это выражение всегда строго положительно: $a^2 + 1 \ge 1$. Числитель дроби равен 1, что также является положительным числом. Частное от деления положительного числа (1) на положительное число ($a^2 + 1$) всегда является положительным числом. Следовательно, $\frac{1}{a^2 + 1} > 0$.
Ответ: Выражение $\frac{1}{a^2 + 1}$ больше нуля.

е) Как было установлено в пункте д), дробь $\frac{1}{a^2 + 1}$ всегда строго положительна. Данное выражение представляет собой число, противоположное этой дроби. Число, противоположное положительному числу, всегда является отрицательным. Следовательно, $-\frac{1}{a^2 + 1} < 0$.
Ответ: Выражение $-\frac{1}{a^2 + 1}$ меньше нуля.

93 Докажите алгебраическим способом свойства неравенств:

а) если $a \le b$ и $b \le c$, то $a \le c$;

б) если $a > b$ и $c$ — любое число, то $a + c > b + c$;

в) если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$;

г) если $a \le b$ и $c < 0$, то $ac \ge bc$.

а) По определению, неравенство $a \le b$ означает, что разность $b - a$ является неотрицательным числом, то есть $b - a \ge 0$.
Из условия $a \le b$ следует, что $b - a \ge 0$.
Из условия $b \le c$ следует, что $c - b \ge 0$.
Нам нужно доказать, что $a \le c$, то есть что разность $c - a$ является неотрицательным числом ($c - a \ge 0$).
Рассмотрим разность $c - a$. Представим ее в виде, добавив и вычтя $b$:
$c - a = (c - b) + (b - a)$.
Мы знаем, что $c - b \ge 0$ и $b - a \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом.
Следовательно, $(c - b) + (b - a) \ge 0$, а значит и $c - a \ge 0$.
Из $c - a \ge 0$ по определению следует, что $a \le c$, что и требовалось доказать.
Ответ: Свойство доказано.

б) По определению, неравенство $a > b$ означает, что разность $a - b$ является положительным числом, то есть $a - b > 0$.
Нам нужно доказать, что $a + c > b + c$. Для этого необходимо показать, что разность $(a + c) - (b + c)$ положительна.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$(a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b$.
Так как по условию $a > b$, то $a - b > 0$.
Следовательно, разность $(a + c) - (b + c)$ положительна, что по определению означает $a + c > b + c$, что и требовалось доказать.
Ответ: Свойство доказано.

в) Из условия $a > b$ следует, что разность $a - b$ является положительным числом: $a - b > 0$.
По условию $c$ также является положительным числом: $c > 0$.
Нам нужно доказать, что $ac > bc$. Для этого покажем, что разность $ac - bc$ положительна.
Рассмотрим разность $ac - bc$ и вынесем общий множитель $c$ за скобки:
$ac - bc = c(a - b)$.
Мы получили произведение двух положительных чисел: $c > 0$ и $(a - b) > 0$. Произведение двух положительных чисел всегда положительно.
Следовательно, $c(a - b) > 0$.
Это означает, что $ac - bc > 0$, из чего по определению следует, что $ac > bc$, что и требовалось доказать.
Ответ: Свойство доказано.

г) Из условия $a \le b$ следует, что разность $b - a$ является неотрицательным числом: $b - a \ge 0$.
По условию $c$ является отрицательным числом: $c < 0$.
Нам нужно доказать, что $ac \ge bc$. Для этого покажем, что разность $ac - bc$ является неотрицательным числом ($ac - bc \ge 0$).
Рассмотрим разность $ac - bc$ и вынесем общий множитель $c$ за скобки:
$ac - bc = c(a - b)$.
Преобразуем выражение в скобках: $a - b = -(b - a)$.
Тогда $c(a - b) = c \cdot (-(b - a)) = (-c)(b - a)$.
Проанализируем знаки множителей в выражении $(-c)(b - a)$:
1. Так как $c < 0$, то $-c > 0$ (положительное число).
2. Так как $a \le b$, то $b - a \ge 0$ (неотрицательное число).
Произведение положительного числа $(-c)$ и неотрицательного числа $(b - a)$ является неотрицательным числом.
Следовательно, $(-c)(b - a) \ge 0$.
Это означает, что $ac - bc \ge 0$, из чего по определению следует, что $ac \ge bc$, что и требовалось доказать.
Ответ: Свойство доказано.

94 Докажите, что для любых чисел $a$ и $b$ верно неравенство:

а) $a^2 + b^2 \ge 2ab;$

б) $(a + b)^2 \ge 4ab;$

в) $\frac{a^2 + 1}{2} \ge a;$

г) $\frac{a}{a^2 + 1} \le \frac{1}{2}.$

а) $a^2 + b^2 \geq 2ab$

Для доказательства перенесем все члены неравенства в левую часть:

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$

Левая часть этого неравенства представляет собой формулу квадрата разности:

$(a - b)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Следовательно, это неравенство верно для любых чисел a и b. Так как все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство верно.

Ответ: Неравенство доказано.

б) $(a + b)^2 \geq 4ab$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы:

$a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab$

Перенесем $4ab$ в левую часть неравенства:

$a^2 + 2ab - 4ab + b^2 \geq 0$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$

Как и в пункте а), свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(a - b)^2 \geq 0$

Это неравенство верно для любых действительных чисел a и b, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

в) $\frac{a^2 + 1}{2} \geq a$

Умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$a^2 + 1 \geq 2a$

Перенесем $2a$ в левую часть:

$a^2 - 2a + 1 \geq 0$

Левая часть является полным квадратом разности a и 1:

$(a - 1)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство верно для любого числа a. Исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

г) $\frac{a}{a^2 + 1} \leq \frac{1}{2}$

Перенесем $\frac{1}{2}$ в левую часть неравенства:

$\frac{a}{a^2 + 1} - \frac{1}{2} \leq 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $2(a^2 + 1)$:

$\frac{2a - (a^2 + 1)}{2(a^2 + 1)} \leq 0$

$\frac{2a - a^2 - 1}{2(a^2 + 1)} \leq 0$

Вынесем минус за скобки в числителе:

$\frac{-(a^2 - 2a + 1)}{2(a^2 + 1)} \leq 0$

Числитель $a^2 - 2a + 1$ является полным квадратом разности:

$\frac{-(a - 1)^2}{2(a^2 + 1)} \leq 0$

Рассмотрим полученную дробь. Выражение $(a - 1)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю). Знаменатель $2(a^2 + 1)$ всегда строго положителен, так как $a^2 \geq 0$, а значит $a^2+1 \geq 1$.

Дробь $\frac{(a - 1)^2}{2(a^2 + 1)}$ всегда неотрицательна. Если умножить ее на -1, результат будет всегда неположительным (меньше или равен нулю). Следовательно, неравенство верно для любого действительного числа a, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

95 Докажите, что если $a > 0$, то $a + \frac{1}{a} \ge 2$. Выполните доказательство двумя способами:

1) на основе оценки разности левой и правой частей неравенства;

2) с использованием неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Проиллюстрируйте доказанное свойство примерами.

1) на основе оценки разности левой и правой частей неравенства;

Чтобы доказать неравенство $a + \frac{1}{a} \ge 2$, рассмотрим разность его левой и правой частей и докажем, что она неотрицательна при $a > 0$.
$a + \frac{1}{a} - 2$
Приведем выражение к общему знаменателю $a$:
$a + \frac{1}{a} - 2 = \frac{a \cdot a}{a} + \frac{1}{a} - \frac{2 \cdot a}{a} = \frac{a^2 - 2a + 1}{a}$
Числитель дроби является полным квадратом разности: $a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.
Следовательно, выражение можно записать как:
$\frac{(a-1)^2}{a}$
Проанализируем знак этого выражения:
- Числитель $(a-1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда больше или равен нулю ($(a-1)^2 \ge 0$).
- Знаменатель $a$ по условию положителен ($a > 0$).
Частное от деления неотрицательного числа на положительное число всегда неотрицательно. Таким образом, $\frac{(a-1)^2}{a} \ge 0$.
Мы доказали, что $a + \frac{1}{a} - 2 \ge 0$, что равносильно исходному неравенству $a + \frac{1}{a} \ge 2$. Равенство достигается, когда числитель равен нулю, то есть при $a=1$.

Ответ: Неравенство доказано, так как разность левой и правой частей $\frac{(a-1)^2}{a}$ неотрицательна при $a > 0$.

2) с использованием неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим.

Неравенство о средних (неравенство Коши) для двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ утверждает, что их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического:
$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$
По условию $a > 0$, следовательно, и число $\frac{1}{a}$ также положительно. Применим неравенство Коши для чисел $x = a$ и $y = \frac{1}{a}$.
$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \ge \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}}$
Упростим правую часть:
$\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = \sqrt{1} = 1$
Теперь неравенство имеет вид:
$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \ge 1$
Умножим обе части на 2 (знак неравенства не изменится, так как 2 > 0):
$a + \frac{1}{a} \ge 2$
Неравенство доказано. Равенство в неравенстве о средних достигается тогда и только тогда, когда числа равны, то есть $a = \frac{1}{a}$, откуда $a^2 = 1$. Учитывая, что $a > 0$, получаем $a=1$.

Ответ: Неравенство доказано с помощью неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим.

Иллюстрация доказанного свойства примерами

Проверим справедливость неравенства $a + \frac{1}{a} \ge 2$ на нескольких примерах при $a>0$:
- При $a=1$: $1 + \frac{1}{1} = 2$. Верно, так как $2 \ge 2$ (случай равенства).
- При $a=2$: $2 + \frac{1}{2} = 2.5$. Верно, так как $2.5 \ge 2$.
- При $a=4$: $4 + \frac{1}{4} = 4.25$. Верно, так как $4.25 \ge 2$.
- При $a=0.5$: $0.5 + \frac{1}{0.5} = 0.5 + 2 = 2.5$. Верно, так как $2.5 \ge 2$.
- При $a=0.2$: $0.2 + \frac{1}{0.2} = 0.2 + 5 = 5.2$. Верно, так как $5.2 \ge 2$.
Примеры показывают, что сумма любого положительного числа и обратного ему числа действительно не меньше двух.

96 Докажите разными способами свойство почленного умножения неравенств одного знака с положительными числами (выберите какой-либо один из знаков неравенства).

Подсказка. 1) Сравните с нулём разность левой и правой частей доказываемого неравенства, применив приём «прибавить — вычесть». 2) Воспользуйтесь свойством транзитивности неравенств.

Сформулируем свойство, которое требуется доказать. Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, то получится верное неравенство.
Выберем для доказательства знак «больше» ($>$).
Дано: $a > b$ и $c > d$, где $a, b, c, d$ — положительные числа ($a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$).
Доказать: $ac > bd$.

Способ 1 (сравнение с нулём разности)

Этот способ основан на первой подсказке. Чтобы доказать, что $ac > bd$, достаточно показать, что их разность положительна, то есть $ac - bd > 0$.
Преобразуем выражение $ac - bd$, используя приём «прибавить и вычесть». Прибавим и вычтем одно и то же слагаемое, например $bc$ (также можно использовать $ad$):
$ac - bd = ac - bc + bc - bd$
Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(ac - bc) + (bc - bd) = c(a - b) + b(c - d)$
Проанализируем знак полученного выражения, исходя из условий задачи:
1. Из условия $a > b$ следует, что разность $a - b$ положительна: $a - b > 0$.
2. Из условия $c > d$ следует, что разность $c - d$ положительна: $c - d > 0$.
3. По условию числа $b$ и $c$ являются положительными: $b > 0$ и $c > 0$.
Рассмотрим каждое слагаемое в сумме $c(a - b) + b(c - d)$:
- Слагаемое $c(a - b)$ — это произведение двух положительных чисел ($c > 0$ и $a - b > 0$), значит, оно положительно: $c(a - b) > 0$.
- Слагаемое $b(c - d)$ — это произведение двух положительных чисел ($b > 0$ и $c - d > 0$), значит, оно также положительно: $b(c - d) > 0$.
Сумма двух положительных чисел всегда является положительным числом, следовательно:
$c(a - b) + b(c - d) > 0$
А это означает, что и исходная разность $ac - bd$ больше нуля:
$ac - bd > 0 \implies ac > bd$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Свойство доказано, так как разность левой и правой частей доказываемого неравенства ($ac - bd$) является положительным числом.

Способ 2 (использование транзитивности)

Этот способ основан на второй подсказке и использует свойство транзитивности для неравенств: если $x > y$ и $y > z$, то $x > z$.
Для доказательства неравенства $ac > bd$ мы найдем такое промежуточное выражение, которое меньше $ac$, но больше $bd$.
Начнём с неравенства $a > b$. Так как по условию $c$ — положительное число ($c > 0$), мы можем умножить обе части неравенства на $c$, сохранив его знак:
$a \cdot c > b \cdot c$, то есть $ac > bc$.
Теперь возьмём второе неравенство $c > d$. Так как по условию $b$ — положительное число ($b > 0$), мы можем умножить обе части этого неравенства на $b$, также сохранив его знак:
$c \cdot b > d \cdot b$, то есть $bc > bd$.
Мы получили два верных неравенства: $ac > bc$ и $bc > bd$.
Применяя свойство транзитивности, из того, что $ac$ больше $bc$, а $bc$ в свою очередь больше $bd$, мы можем заключить, что $ac$ больше $bd$:
$ac > bd$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Свойство доказано с использованием свойства умножения неравенства на положительное число и свойства транзитивности.

97 Пусть a, b, c и d — положительные числа. Докажите, что $\frac{a}{b} \ge \frac{c}{d}$ в том и только том случае, когда $ad \ge bc$. Пользуясь этим фактом, сравните дроби:

$\frac{6}{19}$ и $\frac{7}{18}$; $\frac{8}{23}$ и $\frac{7}{24}$.

Докажем, что неравенство $ \frac{a}{b} \ge \frac{c}{d} $ для положительных чисел $a, b, c, d$ является равносильным неравенству $ ad \ge bc $. Доказательство "в том и только том случае" требует доказательства в обе стороны.

1. Докажем, что если $ \frac{a}{b} \ge \frac{c}{d} $, то $ ad \ge bc $.

Пусть дано неравенство $ \frac{a}{b} \ge \frac{c}{d} $. По условию, числа $b$ и $d$ положительны, следовательно, их произведение $bd$ также положительно. Мы можем умножить обе части неравенства на положительное число $bd$, при этом знак неравенства не изменится:

$ \frac{a}{b} \cdot bd \ge \frac{c}{d} \cdot bd $

Сокращая $b$ в левой части и $d$ в правой, получаем:

$ ad \ge cb $, что то же самое, что и $ ad \ge bc $.

2. Докажем, что если $ ad \ge bc $, то $ \frac{a}{b} \ge \frac{c}{d} $.

Пусть дано неравенство $ ad \ge bc $. Так как $b > 0$ и $d > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $bd$, не меняя знака неравенства:

$ \frac{ad}{bd} \ge \frac{bc}{bd} $

Сокращая $d$ в левой части и $b$ в правой, получаем:

$ \frac{a}{b} \ge \frac{c}{d} $.

Таким образом, мы доказали, что неравенство $ \frac{a}{b} \ge \frac{c}{d} $ истинно в том и только в том случае, когда $ ad \ge bc $.

Теперь воспользуемся этим фактом для сравнения дробей.

$\frac{6}{19}$ и $\frac{7}{18}$

Чтобы сравнить дроби $ \frac{6}{19} $ и $ \frac{7}{18} $, мы можем сравнить произведения "крест-накрест". Здесь $a=6, b=19, c=7, d=18$.

Вычислим произведение $ad$ и $bc$:

$ad = 6 \cdot 18 = 108$

$bc = 19 \cdot 7 = 133$

Сравниваем полученные значения: $ 108 < 133 $.

Так как $ad < bc$, то и $ \frac{a}{b} < \frac{c}{d} $.

Ответ: $ \frac{6}{19} < \frac{7}{18} $.

$\frac{8}{23}$ и $\frac{7}{24}$

Чтобы сравнить дроби $ \frac{8}{23} $ и $ \frac{7}{24} $, сравним произведения "крест-накрест". Здесь $a=8, b=23, c=7, d=24$.

Вычислим произведение $ad$ и $bc$:

$ad = 8 \cdot 24 = 192$

$bc = 23 \cdot 7 = 161$

Сравниваем полученные значения: $ 192 > 161 $.

Так как $ad > bc$, то и $ \frac{a}{b} > \frac{c}{d} $.

Ответ: $ \frac{8}{23} > \frac{7}{24} $.

98 Сравните:

а) $ \sqrt{3} + \sqrt{5} $ и $ \sqrt{2} + \sqrt{6} $;

б) $ 8 $ и $ \sqrt{15} + \sqrt{17} $;

в) $ \sqrt{8} - \sqrt{2} $ и $ \sqrt{10} - \sqrt{3} $;

г) $ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} $.

а) Сравним два положительных числа $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ и $\sqrt{2} + \sqrt{6}$. Для этого сравним их квадраты, так как функция $y=x^2$ возрастает для положительных $x$.

Квадрат первого числа: $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 3 + 2\sqrt{15} + 5 = 8 + 2\sqrt{15}$.

Квадрат второго числа: $(\sqrt{2} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 2 + 2\sqrt{12} + 6 = 8 + 2\sqrt{12}$.

Теперь сравним выражения $8 + 2\sqrt{15}$ и $8 + 2\sqrt{12}$. Это эквивалентно сравнению $2\sqrt{15}$ и $2\sqrt{12}$, или, что то же самое, сравнению $\sqrt{15}$ и $\sqrt{12}$.

Так как подкоренное выражение $15$ больше, чем $12$, то $\sqrt{15} > \sqrt{12}$.

Следовательно, $8 + 2\sqrt{15} > 8 + 2\sqrt{12}$.

Поскольку исходные числа положительны, и квадрат первого числа больше квадрата второго, то и первое число больше второго.

Ответ: $\sqrt{3} + \sqrt{5} > \sqrt{2} + \sqrt{6}$.

б) Сравним числа $8$ и $\sqrt{15} + \sqrt{17}$. Оба числа положительны, поэтому можно сравнить их квадраты.

Квадрат первого числа: $8^2 = 64$.

Квадрат второго числа: $(\sqrt{15} + \sqrt{17})^2 = (\sqrt{15})^2 + 2\sqrt{15 \cdot 17} + (\sqrt{17})^2 = 15 + 2\sqrt{255} + 17 = 32 + 2\sqrt{255}$.

Теперь сравним $64$ и $32 + 2\sqrt{255}$.

Вычтем $32$ из обоих выражений: сравним $32$ и $2\sqrt{255}$.

Разделим обе части на 2: сравним $16$ и $\sqrt{255}$.

Возведем в квадрат (оба числа положительны): $16^2 = 256$ и $(\sqrt{255})^2 = 255$.

Так как $256 > 255$, то $16 > \sqrt{255}$.

Проводя рассуждения в обратном порядке, получаем: $32 > 2\sqrt{255}$, и $64 > 32 + 2\sqrt{255}$.

Следовательно, $8^2 > (\sqrt{15} + \sqrt{17})^2$, а значит и $8 > \sqrt{15} + \sqrt{17}$.

Ответ: $8 > \sqrt{15} + \sqrt{17}$.

в) Сравним выражения $\sqrt{8} - \sqrt{2}$ и $\sqrt{10} - \sqrt{3}$.

Упростим первое выражение: $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Теперь задача сводится к сравнению чисел $\sqrt{2}$ и $\sqrt{10} - \sqrt{3}$.

Оба числа положительны (так как $\sqrt{10} > \sqrt{9}=3$, а $\sqrt{3} < \sqrt{4}=2$, их разность $\sqrt{10} - \sqrt{3}$ положительна). Сравним их квадраты.

Квадрат первого числа: $(\sqrt{2})^2 = 2$.

Квадрат второго числа: $(\sqrt{10} - \sqrt{3})^2 = 10 - 2\sqrt{10 \cdot 3} + 3 = 13 - 2\sqrt{30}$.

Сравним $2$ и $13 - 2\sqrt{30}$. Перенесем $2\sqrt{30}$ влево, а $2$ вправо (это равносильно прибавлению $2\sqrt{30}-2$ к обеим частям): сравним $2\sqrt{30}$ и $13 - 2 = 11$.

Возведем в квадрат (оба числа положительны): $(2\sqrt{30})^2 = 4 \cdot 30 = 120$ и $11^2 = 121$.

Так как $120 < 121$, то $2\sqrt{30} < 11$.

Из этого следует, что $13 - 11 < 13 - 2\sqrt{30}$, то есть $2 < 13 - 2\sqrt{30}$.

Значит, $(\sqrt{2})^2 < (\sqrt{10} - \sqrt{3})^2$. Поскольку исходные выражения положительны, то $\sqrt{2} < \sqrt{10} - \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{8} - \sqrt{2} < \sqrt{10} - \sqrt{3}$.

г) Сравним дроби $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$.

Так как знаменатели дробей равны и положительны, сравнение дробей сводится к сравнению их числителей: $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ и $\sqrt{7}-\sqrt{5}$.

Чтобы избавиться от разностей, преобразуем сравнение. Прибавим к обеим частям $\sqrt{3}+\sqrt{5}$: сравним $\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$.

Получим: сравним $\sqrt{5}+\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}+\sqrt{3}$, то есть $2\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}+\sqrt{3}$.

Оба выражения положительны, поэтому можем сравнить их квадраты.

Квадрат первого выражения: $(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.

Квадрат второго выражения: $(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 = 7 + 2\sqrt{7 \cdot 3} + 3 = 10 + 2\sqrt{21}$.

Теперь сравним $20$ и $10 + 2\sqrt{21}$. Вычтем $10$ из обеих частей: сравним $10$ и $2\sqrt{21}$.

Разделим на 2: сравним $5$ и $\sqrt{21}$.

Возведем в квадрат: $5^2 = 25$ и $(\sqrt{21})^2 = 21$.

Поскольку $25 > 21$, то $5 > \sqrt{21}$.

Возвращаясь к предыдущим шагам, получаем: $10 > 2\sqrt{21}$, $20 > 10 + 2\sqrt{21}$, и $(2\sqrt{5})^2 > (\sqrt{7} + \sqrt{3})^2$.

Так как выражения $2\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}+\sqrt{3}$ положительны, то $2\sqrt{5} > \sqrt{7} + \sqrt{3}$, что равносильно исходному сравнению $\sqrt{5}-\sqrt{3} > \sqrt{7}-\sqrt{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$.

99ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) а) Проведите эксперимент: возьмите любую правильную дробь, большую нуля, и выясните, увеличивается она или уменьшается при прибавлении к числителю и знаменателю одного и того же натурального числа.
б) Запишите в буквенном виде установленную закономерность. Докажите записанное неравенство.

2) Проведите такое же исследование для неправильной дроби.

1) a) Проведем эксперимент с правильной дробью, большей нуля. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Возьмем, к примеру, дробь $ \frac{2}{3} $. Прибавим к ее числителю и знаменателю натуральное число, например, 5.

Исходная дробь: $ \frac{2}{3} $

Новая дробь: $ \frac{2+5}{3+5} = \frac{7}{8} $

Теперь сравним эти две дроби. Приведем их к общему знаменателю $ 3 \times 8 = 24 $:

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{16}{24} $

$ \frac{7}{8} = \frac{7 \times 3}{8 \times 3} = \frac{21}{24} $

Поскольку $ \frac{21}{24} > \frac{16}{24} $, то и $ \frac{7}{8} > \frac{2}{3} $. Дробь увеличилась.

Проведем еще один эксперимент с дробью $ \frac{1}{5} $ и числом 10:

Исходная дробь: $ \frac{1}{5} $

Новая дробь: $ \frac{1+10}{5+10} = \frac{11}{15} $

Сравним $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{11}{15} $. Общий знаменатель — 15.

$ \frac{1}{5} = \frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{3}{15} $

Поскольку $ \frac{11}{15} > \frac{3}{15} $, то и $ \frac{11}{15} > \frac{1}{5} $. Дробь снова увеличилась.

На основе экспериментов можно сделать вывод, что при прибавлении к числителю и знаменателю правильной дроби одного и того же натурального числа дробь увеличивается.

Ответ: При прибавлении к числителю и знаменателю правильной дроби одного и того же натурального числа дробь увеличивается.

1) b) Запишем установленную закономерность в буквенном виде и докажем ее.
Пусть дана правильная дробь $ \frac{a}{b} $, где $a$ и $b$ — натуральные числа, и по определению правильной дроби $ a < b $.
Пусть $n$ — натуральное число, которое мы прибавляем к числителю и знаменателю.
Новая дробь будет $ \frac{a+n}{b+n} $.
Установленная закономерность: $ \frac{a+n}{b+n} > \frac{a}{b} $.

Доказательство:

Чтобы сравнить дроби $ \frac{a+n}{b+n} $ и $ \frac{a}{b} $, вычтем одну из другой и определим знак разности:

$ \frac{a+n}{b+n} - \frac{a}{b} = \frac{(a+n)b - a(b+n)}{b(b+n)} = \frac{ab + nb - ab - na}{b(b+n)} = \frac{nb - na}{b(b+n)} = \frac{n(b - a)}{b(b+n)} $

Рассмотрим полученное выражение $ \frac{n(b-a)}{b(b+n)} $:
$n$ — натуральное число, значит $ n > 0 $.
Дробь $ \frac{a}{b} $ правильная, значит $ a < b $, следовательно, разность $ b - a > 0 $.
$b$ и $b+n$ также положительные числа, так как $b$ и $n$ — натуральные. Значит, их произведение $ b(b+n) > 0 $.

Таким образом, числитель $ n(b-a) $ — произведение двух положительных чисел, он положителен. Знаменатель $ b(b+n) $ также положителен. Частное двух положительных чисел есть число положительное:

$ \frac{n(b-a)}{b(b+n)} > 0 $

Следовательно, разность $ \frac{a+n}{b+n} - \frac{a}{b} > 0 $, а это означает, что $ \frac{a+n}{b+n} > \frac{a}{b} $. Неравенство доказано.

Ответ: Если $ \frac{a}{b} $ — правильная дробь ($a,b \in N, a<b$) и $n \in N$, то $ \frac{a+n}{b+n} > \frac{a}{b} $.

2) Проведем такое же исследование для неправильной дроби. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю ($ a \ge b $).

Случай 1: Числитель больше знаменателя ($ a > b $).

Проведем эксперимент. Возьмем дробь $ \frac{5}{2} $. Прибавим к числителю и знаменателю натуральное число, например, 3.

Исходная дробь: $ \frac{5}{2} = 2.5 $

Новая дробь: $ \frac{5+3}{2+3} = \frac{8}{5} = 1.6 $

Сравниваем: $ 2.5 > 1.6 $, значит $ \frac{5}{2} > \frac{8}{5} $. Дробь уменьшилась.

Докажем это в общем виде. Пусть дана неправильная дробь $ \frac{a}{b} $, где $ a > b $, и $n$ — натуральное число. Сравним $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{a+n}{b+n} $.
Рассмотрим разность, которую мы получили в пункте 1) б):

$ \frac{a+n}{b+n} - \frac{a}{b} = \frac{n(b - a)}{b(b+n)} $

В этом случае:
$n > 0$ (по условию $n$ — натуральное).
Поскольку $ a > b $, то разность $ b - a < 0 $.
Знаменатель $ b(b+n) > 0 $ (произведение натуральных чисел).

Числитель $ n(b-a) $ является произведением положительного числа на отрицательное, значит, он отрицателен. Знаменатель положителен. Частное отрицательного и положительного чисел есть число отрицательное:

$ \frac{n(b-a)}{b(b+n)} < 0 $

Следовательно, $ \frac{a+n}{b+n} - \frac{a}{b} < 0 $, а это означает, что $ \frac{a+n}{b+n} < \frac{a}{b} $. Неправильная дробь (у которой числитель больше знаменателя) уменьшается.

Случай 2: Числитель равен знаменателю ($ a = b $).

В этом случае дробь равна 1: $ \frac{a}{a} = 1 $.

Прибавим число $n$ к числителю и знаменателю:

$ \frac{a+n}{a+n} = 1 $

Дробь не изменилась. $ \frac{a+n}{a+n} = \frac{a}{a} $.

Это также следует из общей формулы разности: если $a=b$, то $b-a=0$, и вся разность $ \frac{n(b-a)}{b(b+n)} = 0 $.

Ответ: Если к числителю и знаменателю неправильной дроби прибавить одно и то же натуральное число, то:
- если числитель был больше знаменателя, дробь уменьшится;
- если числитель был равен знаменателю, дробь не изменится (останется равной 1).