Номер 98, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.6 Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 98, страница 33.

98 Сравните:

а) $ \sqrt{3} + \sqrt{5} $ и $ \sqrt{2} + \sqrt{6} $;

б) $ 8 $ и $ \sqrt{15} + \sqrt{17} $;

в) $ \sqrt{8} - \sqrt{2} $ и $ \sqrt{10} - \sqrt{3} $;

г) $ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} $.

а) Сравним два положительных числа $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ и $\sqrt{2} + \sqrt{6}$. Для этого сравним их квадраты, так как функция $y=x^2$ возрастает для положительных $x$.

Квадрат первого числа: $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 3 + 2\sqrt{15} + 5 = 8 + 2\sqrt{15}$.

Квадрат второго числа: $(\sqrt{2} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 2 + 2\sqrt{12} + 6 = 8 + 2\sqrt{12}$.

Теперь сравним выражения $8 + 2\sqrt{15}$ и $8 + 2\sqrt{12}$. Это эквивалентно сравнению $2\sqrt{15}$ и $2\sqrt{12}$, или, что то же самое, сравнению $\sqrt{15}$ и $\sqrt{12}$.

Так как подкоренное выражение $15$ больше, чем $12$, то $\sqrt{15} > \sqrt{12}$.

Следовательно, $8 + 2\sqrt{15} > 8 + 2\sqrt{12}$.

Поскольку исходные числа положительны, и квадрат первого числа больше квадрата второго, то и первое число больше второго.

Ответ: $\sqrt{3} + \sqrt{5} > \sqrt{2} + \sqrt{6}$.

б) Сравним числа $8$ и $\sqrt{15} + \sqrt{17}$. Оба числа положительны, поэтому можно сравнить их квадраты.

Квадрат первого числа: $8^2 = 64$.

Квадрат второго числа: $(\sqrt{15} + \sqrt{17})^2 = (\sqrt{15})^2 + 2\sqrt{15 \cdot 17} + (\sqrt{17})^2 = 15 + 2\sqrt{255} + 17 = 32 + 2\sqrt{255}$.

Теперь сравним $64$ и $32 + 2\sqrt{255}$.

Вычтем $32$ из обоих выражений: сравним $32$ и $2\sqrt{255}$.

Разделим обе части на 2: сравним $16$ и $\sqrt{255}$.

Возведем в квадрат (оба числа положительны): $16^2 = 256$ и $(\sqrt{255})^2 = 255$.

Так как $256 > 255$, то $16 > \sqrt{255}$.

Проводя рассуждения в обратном порядке, получаем: $32 > 2\sqrt{255}$, и $64 > 32 + 2\sqrt{255}$.

Следовательно, $8^2 > (\sqrt{15} + \sqrt{17})^2$, а значит и $8 > \sqrt{15} + \sqrt{17}$.

Ответ: $8 > \sqrt{15} + \sqrt{17}$.

в) Сравним выражения $\sqrt{8} - \sqrt{2}$ и $\sqrt{10} - \sqrt{3}$.

Упростим первое выражение: $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Теперь задача сводится к сравнению чисел $\sqrt{2}$ и $\sqrt{10} - \sqrt{3}$.

Оба числа положительны (так как $\sqrt{10} > \sqrt{9}=3$, а $\sqrt{3} < \sqrt{4}=2$, их разность $\sqrt{10} - \sqrt{3}$ положительна). Сравним их квадраты.

Квадрат первого числа: $(\sqrt{2})^2 = 2$.

Квадрат второго числа: $(\sqrt{10} - \sqrt{3})^2 = 10 - 2\sqrt{10 \cdot 3} + 3 = 13 - 2\sqrt{30}$.

Сравним $2$ и $13 - 2\sqrt{30}$. Перенесем $2\sqrt{30}$ влево, а $2$ вправо (это равносильно прибавлению $2\sqrt{30}-2$ к обеим частям): сравним $2\sqrt{30}$ и $13 - 2 = 11$.

Возведем в квадрат (оба числа положительны): $(2\sqrt{30})^2 = 4 \cdot 30 = 120$ и $11^2 = 121$.

Так как $120 < 121$, то $2\sqrt{30} < 11$.

Из этого следует, что $13 - 11 < 13 - 2\sqrt{30}$, то есть $2 < 13 - 2\sqrt{30}$.

Значит, $(\sqrt{2})^2 < (\sqrt{10} - \sqrt{3})^2$. Поскольку исходные выражения положительны, то $\sqrt{2} < \sqrt{10} - \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{8} - \sqrt{2} < \sqrt{10} - \sqrt{3}$.

г) Сравним дроби $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$.

Так как знаменатели дробей равны и положительны, сравнение дробей сводится к сравнению их числителей: $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ и $\sqrt{7}-\sqrt{5}$.

Чтобы избавиться от разностей, преобразуем сравнение. Прибавим к обеим частям $\sqrt{3}+\sqrt{5}$: сравним $\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$.

Получим: сравним $\sqrt{5}+\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}+\sqrt{3}$, то есть $2\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}+\sqrt{3}$.

Оба выражения положительны, поэтому можем сравнить их квадраты.

Квадрат первого выражения: $(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.

Квадрат второго выражения: $(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 = 7 + 2\sqrt{7 \cdot 3} + 3 = 10 + 2\sqrt{21}$.

Теперь сравним $20$ и $10 + 2\sqrt{21}$. Вычтем $10$ из обеих частей: сравним $10$ и $2\sqrt{21}$.

Разделим на 2: сравним $5$ и $\sqrt{21}$.

Возведем в квадрат: $5^2 = 25$ и $(\sqrt{21})^2 = 21$.

Поскольку $25 > 21$, то $5 > \sqrt{21}$.

Возвращаясь к предыдущим шагам, получаем: $10 > 2\sqrt{21}$, $20 > 10 + 2\sqrt{21}$, и $(2\sqrt{5})^2 > (\sqrt{7} + \sqrt{3})^2$.

Так как выражения $2\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}+\sqrt{3}$ положительны, то $2\sqrt{5} > \sqrt{7} + \sqrt{3}$, что равносильно исходному сравнению $\sqrt{5}-\sqrt{3} > \sqrt{7}-\sqrt{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$.