Номер 91, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Глава 1. Неравенства. 1.6 Доказательство неравенств - номер 91, страница 33.

Условие.

91 Определите, положительным или отрицательным является значение следующего выражения, если $a$, $b$ и $c$ — длины сторон треугольника:

а) $a + b - c$;

б) $a - b - c$;

в) $a + c - b$;

г) $c - a - b$.

Решение.

Решение 2.

Для определения знака каждого выражения воспользуемся свойством, известным как неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины оставшейся третьей стороны. Для треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ это означает, что должны выполняться три неравенства:

• $a + b > c$
• $a + c > b$
• $b + c > a$

Основываясь на этих неравенствах, проанализируем каждое выражение.

а) $a + b - c$

Из первого неравенства треугольника мы знаем, что $a + b > c$. Если из обеих частей этого неравенства вычесть $c$, то мы получим $a + b - c > c - c$, что упрощается до $a + b - c > 0$. Это означает, что значение выражения всегда положительное.

Ответ: положительное.

б) $a - b - c$

Это выражение можно переписать, вынеся минус за скобки: $a - (b + c)$. Из третьего неравенства треугольника известно, что $b + c > a$. Поскольку мы из меньшего числа ($a$) вычитаем большее число ($b + c$), результат будет отрицательным. Другой способ это показать — преобразовать неравенство $b + c > a$, вычтя из обеих частей $(b+c)$: $0 > a - (b+c)$, или $a - b - c < 0$. Следовательно, значение выражения отрицательное.

Ответ: отрицательное.

в) $a + c - b$

Здесь мы используем второе неравенство треугольника: $a + c > b$. По аналогии с пунктом (а), перенесем $b$ в левую часть, вычитая его из обеих частей неравенства: $a + c - b > b - b$, что дает нам $a + c - b > 0$. Значение выражения является положительным.

Ответ: положительное.

г) $c - a - b$

Это выражение можно представить в виде $c - (a + b)$. Согласно первому неравенству треугольника, $a + b > c$. Так как из меньшего числа ($c$) вычитается большее ($a+b$), результат будет отрицательным. Формально, из неравенства $a + b > c$ следует, что $0 > c - (a+b)$, или $c - a - b < 0$. Таким образом, значение этого выражения отрицательное.

Ответ: отрицательное.