Номер 91, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.6 Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 91, страница 33.

91 Определите, положительным или отрицательным является значение следующего выражения, если $a$, $b$ и $c$ — длины сторон треугольника:

а) $a + b - c$;

б) $a - b - c$;

в) $a + c - b$;

г) $c - a - b$.

Для определения знака каждого выражения воспользуемся свойством, известным как неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины оставшейся третьей стороны. Для треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ это означает, что должны выполняться три неравенства:

• $a + b > c$
• $a + c > b$
• $b + c > a$

Основываясь на этих неравенствах, проанализируем каждое выражение.

а) $a + b - c$

Из первого неравенства треугольника мы знаем, что $a + b > c$. Если из обеих частей этого неравенства вычесть $c$, то мы получим $a + b - c > c - c$, что упрощается до $a + b - c > 0$. Это означает, что значение выражения всегда положительное.

Ответ: положительное.

б) $a - b - c$

Это выражение можно переписать, вынеся минус за скобки: $a - (b + c)$. Из третьего неравенства треугольника известно, что $b + c > a$. Поскольку мы из меньшего числа ($a$) вычитаем большее число ($b + c$), результат будет отрицательным. Другой способ это показать — преобразовать неравенство $b + c > a$, вычтя из обеих частей $(b+c)$: $0 > a - (b+c)$, или $a - b - c < 0$. Следовательно, значение выражения отрицательное.

Ответ: отрицательное.

в) $a + c - b$

Здесь мы используем второе неравенство треугольника: $a + c > b$. По аналогии с пунктом (а), перенесем $b$ в левую часть, вычитая его из обеих частей неравенства: $a + c - b > b - b$, что дает нам $a + c - b > 0$. Значение выражения является положительным.

Ответ: положительное.

г) $c - a - b$

Это выражение можно представить в виде $c - (a + b)$. Согласно первому неравенству треугольника, $a + b > c$. Так как из меньшего числа ($c$) вычитается большее ($a+b$), результат будет отрицательным. Формально, из неравенства $a + b > c$ следует, что $0 > c - (a+b)$, или $c - a - b < 0$. Таким образом, значение этого выражения отрицательное.

Ответ: отрицательное.