Номер 84, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.5 Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 84, страница 29.

Решите систему неравенств (№ 83–84):

84 a) $\begin{cases} x > -3, \\ x > -1, \\ x < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x < -0.25, \\ x < 0.5, \\ x < -0.4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x - 5 < 0, \\ x + 4 \ge 2, \\ 3x + 3 > 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} -7x \ge 14, \\ \frac{x}{3} > -1, \\ 3(x - 1) < 6. \end{cases}$

а)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x > -3, \\ x > -1, \\ x < 0. \end{cases} $

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Найдём это пересечение, изобразив его на числовой оси. Необходимо найти значения $x$, которые одновременно больше -3, больше -1 и меньше 0.

Если $x > -1$, то он автоматически больше -3. Таким образом, первые два неравенства можно заменить одним: $x > -1$.

Система упрощается до:

$ \begin{cases} x > -1, \\ x < 0. \end{cases} $

Это означает, что искомые значения $x$ находятся между -1 и 0.

Ответ: $x \in (-1; 0)$.

б)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x < -0,25, \\ x < 0,5, \\ x < -0,4. \end{cases} $

Чтобы найти решение системы, необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют всем трём неравенствам одновременно. Все неравенства имеют вид $x < a$.

Чтобы $x$ был меньше всех трёх чисел ($-0,25$; $0,5$; $-0,4$), он должен быть меньше наименьшего из них.

Сравним эти числа: $-0,4 < -0,25 < 0,5$.

Наименьшее число — это $-0,4$. Следовательно, решение системы — это все $x$, такие что $x < -0,4$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,4)$.

в)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} 2x - 5 < 0, \\ x + 4 \ge 2, \\ 3x + 3 > 0. \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $2x - 5 < 0 \implies 2x < 5 \implies x < \frac{5}{2} \implies x < 2,5$.

2) $x + 4 \ge 2 \implies x \ge 2 - 4 \implies x \ge -2$.

3) $3x + 3 > 0 \implies 3x > -3 \implies x > -1$.

Теперь объединим полученные решения в систему:

$ \begin{cases} x < 2,5, \\ x \ge -2, \\ x > -1. \end{cases} $

Найдём пересечение интервалов $(-\infty; 2,5)$, $[-2; +\infty)$ и $(-1; +\infty)$. Условие $x > -1$ является более строгим, чем $x \ge -2$, поэтому система эквивалентна следующей:

$ \begin{cases} x < 2,5, \\ x > -1. \end{cases} $

Решением является интервал от -1 до 2,5, не включая концы.

Ответ: $x \in (-1; 2,5)$.

г)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} -7x \ge 14, \\ \frac{x}{3} > -1, \\ 3(x - 1) < 6. \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $-7x \ge 14$. Разделим обе части на -7, изменив знак неравенства на противоположный: $x \le \frac{14}{-7} \implies x \le -2$.

2) $\frac{x}{3} > -1$. Умножим обе части на 3: $x > -3$.

3) $3(x - 1) < 6$. Разделим обе части на 3: $x - 1 < 2 \implies x < 3$.

Теперь объединим полученные решения в систему:

$ \begin{cases} x \le -2, \\ x > -3, \\ x < 3. \end{cases} $

Найдём пересечение множеств решений $(-\infty; -2]$, $(-3; +\infty)$ и $(-\infty; 3)$.

Пересечение $x > -3$ и $x < 3$ даёт интервал $(-3; 3)$.

Теперь найдём пересечение этого интервала с условием $x \le -2$: $(-3; 3) \cap (-\infty; -2]$.

Это числа, которые больше -3 и одновременно меньше или равны -2.

Ответ: $x \in (-3; -2]$.