Номер 79, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.5 Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 79, страница 28.

79 Решите систему неравенств (№ 78–81):

a) $ \begin{cases} 5x - 12 \ge 11x \\ 4x + 13 < 1 \end{cases}; $

б) $ \begin{cases} 3y - 10 \ge 4y - 4 \\ 3y + 2 \ge y + 8 \end{cases}; $

в) $ \begin{cases} 4z < z + 9 \\ 4 - 2z > 6 \end{cases}; $

г) $ \begin{cases} 3x + 5 \ge 4x - 2 \\ 6x - 1 \ge 3x + 5 \end{cases}. $

а)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} 5x - 12 \ge 11x, \\ 4x + 13 < 1; \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$5x - 12 \ge 11x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числа - в другую:

$5x - 11x \ge 12$

$-6x \ge 12$

Разделим обе части на -6 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x \le -2$

Решим второе неравенство:

$4x + 13 < 1$

Перенесем число 13 в правую часть с противоположным знаком:

$4x < 1 - 13$

$4x < -12$

Разделим обе части на 4:

$x < -3$

Теперь найдем пересечение решений $x \le -2$ и $x < -3$. Для этого можно изобразить оба решения на числовой оси. Пересечением двух промежутков $(-\infty; -2]$ и $(-\infty; -3)$ будет промежуток $(-\infty; -3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

б)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} 3y - 10 \ge 4y - 4, \\ 3y + 2 \ge y + 8; \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$3y - 10 \ge 4y - 4$

$3y - 4y \ge -4 + 10$

$-y \ge 6$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$y \le -6$

Решим второе неравенство:

$3y + 2 \ge y + 8$

$3y - y \ge 8 - 2$

$2y \ge 6$

Разделим обе части на 2:

$y \ge 3$

Найдем пересечение решений $y \le -6$ и $y \ge 3$. Не существует такого числа $y$, которое было бы одновременно меньше или равно -6 и больше или равно 3. Промежутки $(-\infty; -6]$ и $[3; +\infty)$ не пересекаются.

Ответ: нет решений.

в)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} 4z < z + 9, \\ 4 - 2z > 6; \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$4z < z + 9$

$4z - z < 9$

$3z < 9$

Разделим обе части на 3:

$z < 3$

Решим второе неравенство:

$4 - 2z > 6$

$-2z > 6 - 4$

$-2z > 2$

Разделим обе части на -2 и изменим знак неравенства на противоположный:

$z < -1$

Найдем пересечение решений $z < 3$ и $z < -1$. Пересечением промежутков $(-\infty; 3)$ и $(-\infty; -1)$ является промежуток $(-\infty; -1)$.

Ответ: $z \in (-\infty; -1)$.

г)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} 3x + 5 \ge 4x - 2, \\ 6x - 1 \ge 3x + 5; \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$3x + 5 \ge 4x - 2$

$5 + 2 \ge 4x - 3x$

$7 \ge x$, что эквивалентно $x \le 7$

Решим второе неравенство:

$6x - 1 \ge 3x + 5$

$6x - 3x \ge 5 + 1$

$3x \ge 6$

Разделим обе части на 3:

$x \ge 2$

Найдем пересечение решений $x \le 7$ и $x \ge 2$. Это соответствует двойному неравенству $2 \le x \le 7$. Пересечением промежутков $(-\infty; 7]$ и $[2; +\infty)$ является отрезок $[2; 7]$.

Ответ: $x \in [2; 7]$.