Номер 73, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.4 Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 73, страница 25.

73 При каких значениях параметра c уравнение имеет корни:

а) $2x^2 - 3x + c = 0$;

б) $-3x^2 - 3x + c = 0$?

Имеет ли уравнение корни при c, равном -1; -0,5; 0; 1,5?

а) $2x^2 - 3x + c = 0$

Квадратное уравнение имеет действительные корни (один или два), если его дискриминант $D$ не отрицателен, то есть $D \ge 0$. Формула дискриминанта для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит так: $D = b^2 - 4ac$.

Для данного уравнения коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -3$. Свободный член является параметром $c$. Вычислим дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot c = 9 - 8c$.

Уравнение имеет корни при выполнении условия $D \ge 0$:
$9 - 8c \ge 0$
$9 \ge 8c$
$c \le \frac{9}{8}$
$c \le 1,125$

Ответ: уравнение имеет корни при $c \le \frac{9}{8}$ (или $c \le 1,125$).

б) $-3x^2 - 3x + c = 0$

Аналогично предыдущему пункту, найдем дискриминант и решим неравенство $D \ge 0$. Коэффициенты данного уравнения: $a = -3$, $b = -3$. Параметр — $c$. Вычислим дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot c = 9 + 12c$.

Уравнение имеет корни при выполнении условия $D \ge 0$:
$9 + 12c \ge 0$
$12c \ge -9$
$c \ge -\frac{9}{12}$
$c \ge -\frac{3}{4}$ (или $c \ge -0,75$)

Ответ: уравнение имеет корни при $c \ge -\frac{3}{4}$.

Имеет ли уравнение корни при c, равном $-1; -0,5; 0; 1,5$?

Проверим наличие корней для каждого из двух уравнений при заданных значениях параметра $c$, используя найденные выше условия.

Для уравнения а) $2x^2 - 3x + c = 0$, условие наличия корней: $c \le 1,125$.
- при $c = -1$: $-1 \le 1,125$, следовательно, корни есть.
- при $c = -0,5$: $-0,5 \le 1,125$, следовательно, корни есть.
- при $c = 0$: $0 \le 1,125$, следовательно, корни есть.
- при $c = 1,5$: $1,5 > 1,125$, следовательно, корней нет.

Для уравнения б) $-3x^2 - 3x + c = 0$, условие наличия корней: $c \ge -0,75$.
- при $c = -1$: $-1 < -0,75$, следовательно, корней нет.
- при $c = -0,5$: $-0,5 \ge -0,75$, следовательно, корни есть.
- при $c = 0$: $0 \ge -0,75$, следовательно, корни есть.
- при $c = 1,5$: $1,5 \ge -0,75$, следовательно, корни есть.

Ответ: для уравнения $2x^2 - 3x + c = 0$ корни имеются при $c \in \{-1; -0,5; 0\}$ и отсутствуют при $c = 1,5$. Для уравнения $-3x^2 - 3x + c = 0$ корни имеются при $c \in \{-0,5; 0; 1,5\}$ и отсутствуют при $c = -1$.