Страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

67 а) Дом Петра находится на расстоянии 1200 м от школы и 600 м от дома Андрея. На каком расстоянии от школы может находиться дом Андрея?

б) Путь от дома до школы пешком занимает у Ирины 15 мин, а от дома до стадиона 30 мин. Все три пункта связаны прямолинейными дорогами. Сколько минут может занимать у неё дорога от школы до стадиона?

Подсказка. Изобразите на рисунке все дороги отрезками.

а)

Обозначим точки на карте: Ш — школа, П — дом Петра, А — дом Андрея. По условию задачи, расстояние от школы до дома Петра составляет $Р(Ш, П) = 1200$ м, а расстояние от дома Петра до дома Андрея — $Р(П, А) = 600$ м. Нам нужно найти возможное расстояние от школы до дома Андрея, то есть $Р(Ш, А)$.

Эти три точки (Ш, П, А) могут лежать на одной прямой или образовывать треугольник. Рассмотрим крайние случаи, когда они лежат на одной прямой, так как это даст нам максимальное и минимальное возможные расстояния.

Случай 1: Максимальное расстояние.
Это произойдет, если дом Петра находится между школой и домом Андрея. Все три точки лежат на одной прямой в последовательности Ш – П – А. В этом случае расстояние от школы до дома Андрея будет суммой расстояний:
$Р(Ш, А) = Р(Ш, П) + Р(П, А) = 1200 \text{ м} + 600 \text{ м} = 1800 \text{ м}$.

Случай 2: Минимальное расстояние.
Это произойдет, если дом Андрея находится между школой и домом Петра. Все три точки лежат на одной прямой в последовательности Ш – А – П. В этом случае расстояние от школы до дома Андрея будет разностью расстояний:
$Р(Ш, А) = Р(Ш, П) - Р(П, А) = 1200 \text{ м} - 600 \text{ м} = 600 \text{ м}$.

Если точки Ш, П, и А не лежат на одной прямой, они образуют треугольник. Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника не может быть больше суммы длин двух других сторон и не может быть меньше модуля их разности. Таким образом, расстояние $Р(Ш, А)$ будет находиться в пределах между минимальным и максимальным значениями:
$|Р(Ш, П) - Р(П, А)| \le Р(Ш, А) \le Р(Ш, П) + Р(П, А)$
$|1200 - 600| \le Р(Ш, А) \le 1200 + 600$
$600 \text{ м} \le Р(Ш, А) \le 1800 \text{ м}$

Следовательно, дом Андрея может находиться на расстоянии от 600 м до 1800 м от школы.

Ответ: от 600 м до 1800 м включительно.

б)

Обозначим точки: Д — дом Ирины, Ш — школа, С — стадион. По условию, время в пути пропорционально расстоянию, поскольку все дороги прямолинейные, а скорость пешком можно считать постоянной. Поэтому для отрезков времени можно применять те же правила, что и для расстояний (неравенство треугольника).

Известно, что время в пути от дома до школы составляет $Т(Д, Ш) = 15$ мин, а время от дома до стадиона — $Т(Д, С) = 30$ мин. Требуется найти возможное время в пути от школы до стадиона, то есть $Т(Ш, С)$.

Рассмотрим крайние случаи, когда все три точки (Д, Ш, С) лежат на одной прямой.

Случай 1: Максимальное время.
Это произойдет, если дом Ирины находится между школой и стадионом. Точки лежат на одной прямой в последовательности Ш – Д – С. В этом случае общее время пути от школы до стадиона будет суммой двух отрезков времени:
$Т(Ш, С) = Т(Ш, Д) + Т(Д, С) = 15 \text{ мин} + 30 \text{ мин} = 45 \text{ мин}$.

Случай 2: Минимальное время.
Это произойдет, если школа находится между домом Ирины и стадионом. Точки лежат на одной прямой в последовательности Д – Ш – С. В этом случае время от дома до стадиона является суммой $Т(Д, Ш) + Т(Ш, С)$.
$Т(Д, С) = Т(Д, Ш) + Т(Ш, С)$
$30 \text{ мин} = 15 \text{ мин} + Т(Ш, С)$
$Т(Ш, С) = 30 \text{ мин} - 15 \text{ мин} = 15 \text{ мин}$.

Заметим, что случай, когда стадион находится между домом и школой, невозможен, так как путь до стадиона (30 мин) длиннее пути до школы (15 мин).

Если точки Д, Ш, С не лежат на одной прямой, они образуют треугольник, и время пути от школы до стадиона будет находиться между найденными минимальным и максимальным значениями:
$|Т(Д, С) - Т(Д, Ш)| \le Т(Ш, С) \le Т(Д, С) + Т(Д, Ш)$
$|30 - 15| \le Т(Ш, С) \le 30 + 15$
$15 \text{ мин} \le Т(Ш, С) \le 45 \text{ мин}$

Следовательно, дорога от школы до стадиона может занимать у Ирины от 15 до 45 минут.

Ответ: от 15 до 45 минут включительно.

68 Без построения графика определите, при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения и при каких — отрицательные:

a) $y = 3x - 7$;

б) $y = 1 - 6x.$

Для каждого случая изобразите схематически график функции.

Чтобы определить, при каких значениях аргумента $x$ функция принимает положительные или отрицательные значения, нужно решить неравенства $y > 0$ и $y < 0$ соответственно. Точка, в которой значение функции равно нулю ($y=0$), является границей между этими интервалами.

а) $y = 3x - 7$

1. Найдем, при каких $x$ функция принимает положительные значения ($y > 0$):
$3x - 7 > 0$
$3x > 7$
$x > \frac{7}{3}$

2. Найдем, при каких $x$ функция принимает отрицательные значения ($y < 0$):
$3x - 7 < 0$
$3x < 7$
$x < \frac{7}{3}$

3. Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($y = 0$):
$3x - 7 = 0$
$x = \frac{7}{3}$

Функция $y = 3x - 7$ является линейной, ее график — прямая. Угловой коэффициент $k=3$ положительный, значит, функция возрастающая. Она пересекает ось $x$ в точке $(\frac{7}{3}, 0)$ и ось $y$ в точке $(0, -7)$.

Схематический график функции:

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (\frac{7}{3}; +\infty)$ и отрицательные значения при $x \in (-\infty; \frac{7}{3})$.

б) $y = 1 - 6x$

1. Найдем, при каких $x$ функция принимает положительные значения ($y > 0$):
$1 - 6x > 0$
$1 > 6x$
$\frac{1}{6} > x$, или $x < \frac{1}{6}$

2. Найдем, при каких $x$ функция принимает отрицательные значения ($y < 0$):
$1 - 6x < 0$
$1 < 6x$
$\frac{1}{6} < x$, или $x > \frac{1}{6}$

3. Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($y = 0$):
$1 - 6x = 0$
$x = \frac{1}{6}$

Функция $y = 1 - 6x$ является линейной, ее график — прямая. Угловой коэффициент $k=-6$ отрицательный, значит, функция убывающая. Она пересекает ось $x$ в точке $(\frac{1}{6}, 0)$ и ось $y$ в точке $(0, 1)$.

Схематический график функции:

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; \frac{1}{6})$ и отрицательные значения при $x \in (\frac{1}{6}; +\infty)$.

69 Определите, при каких значениях аргумента точки графика функции $y = f(x)$ расположены выше точек графика функции $y = g(x)$ и при каких ниже. Выполните задание двумя способами: сначала решив неравенство, а затем построив графики в одной системе координат:

a) $f(x) = 2x - 1, g(x) = -2x + 1$

б) $f(x) = 0.5x, g(x) = 3 - x.$

а) $f(x) = 2x - 1, g(x) = -2x + 1$

Способ 1: Решение неравенства

Чтобы определить, при каких значениях аргумента $x$ график функции $y = f(x)$ расположен выше графика функции $y = g(x)$, необходимо решить неравенство $f(x) > g(x)$.

$2x - 1 > -2x + 1$

$2x + 2x > 1 + 1$

$4x > 2$

$x > \frac{2}{4}$

$x > 0,5$

Таким образом, график функции $f(x)$ находится выше графика $g(x)$ при $x > 0,5$.

Чтобы определить, при каких значениях $x$ график $f(x)$ расположен ниже графика $g(x)$, решим неравенство $f(x) < g(x)$.

$2x - 1 < -2x + 1$

$4x < 2$

$x < 0,5$

Таким образом, график функции $f(x)$ находится ниже графика $g(x)$ при $x < 0,5$.

Способ 2: Построение графиков в одной системе координат

Обе функции, $y = 2x - 1$ и $y = -2x + 1$, являются линейными, и их графики — прямые. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек.

Для графика $y = f(x) = 2x - 1$: при $x = 0, y = 2(0) - 1 = -1$, получаем точку $(0; -1)$; при $x = 1, y = 2(1) - 1 = 1$, получаем точку $(1; 1)$.

Для графика $y = g(x) = -2x + 1$: при $x = 0, y = -2(0) + 1 = 1$, получаем точку $(0; 1)$; при $x = 1, y = -2(1) + 1 = -1$, получаем точку $(1; -1)$.

Построив графики в одной системе координат, можно увидеть, что они пересекаются. Точка пересечения — это точка, в которой значения функций равны, то есть $f(x) = g(x)$. Мы уже нашли эту точку в первом способе: $x = 0,5$. Найдем соответствующий $y$: $f(0,5) = 2(0,5) - 1 = 1 - 1 = 0$. Точка пересечения — $(0,5; 0)$.

Визуально на графике видно, что прямая $y=2x-1$ (график $f(x)$) расположена выше прямой $y=-2x+1$ (график $g(x)$) для всех $x$, которые находятся правее точки пересечения, то есть при $x > 0,5$. Соответственно, график $f(x)$ расположен ниже графика $g(x)$ левее точки пересечения, то есть при $x < 0,5$.

Ответ: график функции $f(x)$ расположен выше графика $g(x)$ при $x \in (0,5; +\infty)$, а ниже — при $x \in (-\infty; 0,5)$.

б) $f(x) = 0,5x, g(x) = 3 - x$

Способ 1: Решение неравенства

Найдем, при каких $x$ график $f(x)$ выше графика $g(x)$, решив неравенство $f(x) > g(x)$.

$0,5x > 3 - x$

$0,5x + x > 3$

$1,5x > 3$

$x > \frac{3}{1,5}$

$x > 2$

График $f(x)$ выше графика $g(x)$ при $x > 2$.

Найдем, при каких $x$ график $f(x)$ ниже графика $g(x)$, решив неравенство $f(x) < g(x)$.

$0,5x < 3 - x$

$1,5x < 3$

$x < 2$

График $f(x)$ ниже графика $g(x)$ при $x < 2$.

Способ 2: Построение графиков в одной системе координат

Функции $y = 0,5x$ и $y = 3 - x$ являются линейными. Построим их графики.

Для графика $y = f(x) = 0,5x$: при $x = 0, y = 0,5(0) = 0$, получаем точку $(0; 0)$; при $x = 2, y = 0,5(2) = 1$, получаем точку $(2; 1)$.

Для графика $y = g(x) = 3 - x$: при $x = 0, y = 3 - 0 = 3$, получаем точку $(0; 3)$; при $x = 3, y = 3 - 3 = 0$, получаем точку $(3; 0)$.

Найдем точку пересечения графиков из условия $f(x) = g(x)$. Как было найдено в первом способе, $x=2$. Найдем $y$: $f(2) = 0,5(2) = 1$. Точка пересечения — $(2; 1)$.

На построенных графиках видно, что прямая $y=0,5x$ (график $f(x)$) проходит выше прямой $y=3-x$ (график $g(x)$) справа от их точки пересечения, то есть при $x > 2$. График $f(x)$ проходит ниже графика $g(x)$ слева от точки пересечения, то есть при $x < 2$.

Ответ: график функции $f(x)$ расположен выше графика $g(x)$ при $x \in (2; +\infty)$, а ниже — при $x \in (-\infty; 2)$.

70 Найдите все значения x, при которых имеет смысл выражение:

а) $\sqrt{0,5x}$;

б) $\frac{1}{\sqrt{-2x}}$;

в) $\sqrt{3x - 10}$;

г) $\sqrt{4 - 10x}$;

д) $\sqrt{\frac{2x - 6}{5}}$;

е) $\frac{2}{\sqrt{1 - x}}$.

а) Выражение $\sqrt{0,5x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Составим и решим неравенство:
$0,5x \ge 0$
Разделим обе части неравенства на $0,5$:
$x \ge 0$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех $x$ из промежутка $[0; +\infty)$.
Ответ: $x \ge 0$.

б) Выражение $\frac{1}{\sqrt{-2x}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение строго больше нуля, так как корень находится в знаменателе, а на ноль делить нельзя. Составим и решим неравенство:
$-2x > 0$
Разделим обе части неравенства на $-2$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$x < 0$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех $x$ из промежутка $(-\infty; 0)$.
Ответ: $x < 0$.

в) Выражение $\sqrt{3x - 10}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. Составим и решим неравенство:
$3x - 10 \ge 0$
$3x \ge 10$
$x \ge \frac{10}{3}$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех $x$ из промежутка $[\frac{10}{3}; +\infty)$.
Ответ: $x \ge \frac{10}{3}$.

г) Выражение $\sqrt{4 - 10x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. Составим и решим неравенство:
$4 - 10x \ge 0$
$-10x \ge -4$
Разделим обе части неравенства на $-10$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$x \le \frac{-4}{-10}$
$x \le 0,4$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех $x$ из промежутка $(-\infty; 0,4]$.
Ответ: $x \le 0,4$.

д) Выражение $\sqrt{\frac{2x - 6}{5}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. Составим и решим неравенство:
$\frac{2x - 6}{5} \ge 0$
Так как знаменатель $5$ является положительным числом, знак дроби зависит только от знака числителя. Поэтому неравенство равносильно следующему:
$2x - 6 \ge 0$
$2x \ge 6$
$x \ge 3$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех $x$ из промежутка $[3; +\infty)$.
Ответ: $x \ge 3$.

е) Выражение $\frac{2}{\sqrt{1 - x}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение строго больше нуля, так как корень находится в знаменателе. Составим и решим неравенство:
$1 - x > 0$
$-x > -1$
Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$x < 1$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех $x$ из промежутка $(-\infty; 1)$.
Ответ: $x < 1$.

71 При каких значениях параметра a корень уравнения равен нулю; является числом положительным; является числом отрицательным:

а) $4x = a - 8;$

б) $5(x - 1) = 4 - 2a;$

в) $ax + 2 = x + 10;$

г) $(1 - a)x = 6 - x?$

а) Исходное уравнение: $4x = a - 8$.
Это линейное уравнение относительно $x$. Выразим корень $x$ через параметр $a$:
$x = \frac{a - 8}{4}$
Рассмотрим три случая:
1. Корень равен нулю ($x = 0$)
Для этого необходимо, чтобы числитель дроби был равен нулю:
$a - 8 = 0 \implies a = 8$
2. Корень является положительным числом ($x > 0$)
$\frac{a - 8}{4} > 0$
Так как знаменатель $4$ положителен, это неравенство равносильно неравенству для числителя:
$a - 8 > 0 \implies a > 8$
3. Корень является отрицательным числом ($x < 0$)
$\frac{a - 8}{4} < 0$
Аналогично, так как знаменатель положителен, неравенство равносильно:
$a - 8 < 0 \implies a < 8$
Ответ: корень равен нулю при $a = 8$; является положительным числом при $a > 8$; является отрицательным числом при $a < 8$.

б) Исходное уравнение: $5(x - 1) = 4 - 2a$.
Сначала упростим уравнение и выразим $x$:
$5x - 5 = 4 - 2a$
$5x = 9 - 2a$
$x = \frac{9 - 2a}{5}$
Рассмотрим три случая:
1. Корень равен нулю ($x = 0$)
Для этого необходимо, чтобы числитель дроби был равен нулю:
$9 - 2a = 0 \implies 2a = 9 \implies a = 4.5$
2. Корень является положительным числом ($x > 0$)
$\frac{9 - 2a}{5} > 0$
Так как знаменатель $5$ положителен, неравенство равносильно:
$9 - 2a > 0 \implies 9 > 2a \implies a < 4.5$
3. Корень является отрицательным числом ($x < 0$)
$\frac{9 - 2a}{5} < 0$
Так как знаменатель $5$ положителен, неравенство равносильно:
$9 - 2a < 0 \implies 9 < 2a \implies a > 4.5$
Ответ: корень равен нулю при $a = 4.5$; является положительным числом при $a < 4.5$; является отрицательным числом при $a > 4.5$.

в) Исходное уравнение: $ax + 2 = x + 10$.
Сгруппируем члены с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:
$ax - x = 10 - 2$
$(a - 1)x = 8$
Чтобы уравнение имело единственный корень, коэффициент при $x$ не должен быть равен нулю, то есть $a - 1 \neq 0$, откуда $a \neq 1$. При $a = 1$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 8$, что неверно, следовательно, корней нет.
При $a \neq 1$ корень уравнения равен:
$x = \frac{8}{a - 1}$
Рассмотрим три случая:
1. Корень равен нулю ($x = 0$)
$\frac{8}{a - 1} = 0$
Это уравнение не имеет решений, так как числитель $8 \neq 0$. Следовательно, корень не может быть равен нулю.
2. Корень является положительным числом ($x > 0$)
$\frac{8}{a - 1} > 0$
Так как числитель $8$ положителен, для выполнения неравенства знаменатель также должен быть положителен:
$a - 1 > 0 \implies a > 1$
3. Корень является отрицательным числом ($x < 0$)
$\frac{8}{a - 1} < 0$
Так как числитель $8$ положителен, для выполнения неравенства знаменатель должен быть отрицателен:
$a - 1 < 0 \implies a < 1$
Ответ: корень не может быть равен нулю ни при каких значениях $a$; является положительным числом при $a > 1$; является отрицательным числом при $a < 1$.

г) Исходное уравнение: $(1 - a)x = 6 - x$.
Сгруппируем члены с $x$ в левой части уравнения:
$(1 - a)x + x = 6$
$(1 - a + 1)x = 6$
$(2 - a)x = 6$
Чтобы уравнение имело единственный корень, коэффициент при $x$ не должен быть равен нулю: $2 - a \neq 0$, откуда $a \neq 2$. При $a = 2$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 6$, что неверно, следовательно, корней нет.
При $a \neq 2$ корень уравнения равен:
$x = \frac{6}{2 - a}$
Рассмотрим три случая:
1. Корень равен нулю ($x = 0$)
$\frac{6}{2 - a} = 0$
Это уравнение не имеет решений, так как числитель $6 \neq 0$. Таким образом, корень не может быть равен нулю.
2. Корень является положительным числом ($x > 0$)
$\frac{6}{2 - a} > 0$
Так как числитель $6$ положителен, знаменатель также должен быть положителен:
$2 - a > 0 \implies 2 > a \implies a < 2$
3. Корень является отрицательным числом ($x < 0$)
$\frac{6}{2 - a} < 0$
Так как числитель $6$ положителен, знаменатель должен быть отрицателен:
$2 - a < 0 \implies 2 < a \implies a > 2$
Ответ: корень не может быть равен нулю ни при каких значениях $a$; является положительным числом при $a < 2$; является отрицательным числом при $a > 2$.

72. При каких значениях параметра $a$ квадратное уравнение не имеет корней:

a) $ax^2 - 10x + 15 = 0$;

б) $ax^2 + 2x - 5 = 0$?

Для каждого уравнения приведите три примера значений $a$, при которых множество решений уравнения пусто.

а) $ax^2 - 10x + 15 = 0$

Данное уравнение является квадратным при $a \neq 0$. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ меньше нуля.

Вычислим дискриминант для этого уравнения. Коэффициенты: $A = a$, $B = -10$, $C = 15$.

Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.

Подставляем значения: $D = (-10)^2 - 4 \cdot a \cdot 15 = 100 - 60a$.

Чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться неравенство $D < 0$:

$100 - 60a < 0$

$100 < 60a$

$a > \frac{100}{60}$, что после сокращения дроби дает $a > \frac{5}{3}$.

Теперь рассмотрим случай, когда $a = 0$. Уравнение перестает быть квадратным и становится линейным:

$0 \cdot x^2 - 10x + 15 = 0 \implies -10x + 15 = 0$.

Решая это уравнение, получаем $10x = 15$, откуда $x = 1.5$.

Так как при $a=0$ уравнение имеет один корень, это значение не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, исходное уравнение не имеет корней только при $a > \frac{5}{3}$.

Примеры трех значений параметра $a$, при которых множество решений уравнения пусто: $a = 2$, $a = 3$, $a = 10$.

Ответ: Уравнение не имеет корней при $a > \frac{5}{3}$. Примеры значений $a$: 2, 3, 10.

б) $ax^2 + 2x - 5 = 0$

Рассмотрим случай, когда уравнение является квадратным, то есть $a \neq 0$. Условие отсутствия корней — отрицательный дискриминант ($D < 0$).

Коэффициенты данного уравнения: $A = a$, $B = 2$, $C = -5$.

Вычисляем дискриминант: $D = B^2 - 4AC = 2^2 - 4 \cdot a \cdot (-5) = 4 + 20a$.

Решаем неравенство $D < 0$:

$4 + 20a < 0$

$20a < -4$

$a < -\frac{4}{20}$, что после сокращения дроби дает $a < -\frac{1}{5}$.

Далее рассмотрим случай, когда $a = 0$. Уравнение становится линейным:

$0 \cdot x^2 + 2x - 5 = 0 \implies 2x - 5 = 0$.

Решение этого уравнения: $2x = 5$, откуда $x = 2.5$.

Поскольку при $a=0$ существует корень, это значение параметра не подходит.

Таким образом, исходное уравнение не имеет корней только при $a < -\frac{1}{5}$.

Примеры трех значений параметра $a$, при которых множество решений уравнения пусто: $a = -1$, $a = -5$, $a = -100$.

Ответ: Уравнение не имеет корней при $a < -\frac{1}{5}$. Примеры значений $a$: -1, -5, -100.

73 При каких значениях параметра c уравнение имеет корни:

а) $2x^2 - 3x + c = 0$;

б) $-3x^2 - 3x + c = 0$?

Имеет ли уравнение корни при c, равном -1; -0,5; 0; 1,5?

а) $2x^2 - 3x + c = 0$

Квадратное уравнение имеет действительные корни (один или два), если его дискриминант $D$ не отрицателен, то есть $D \ge 0$. Формула дискриминанта для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит так: $D = b^2 - 4ac$.

Для данного уравнения коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -3$. Свободный член является параметром $c$. Вычислим дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot c = 9 - 8c$.

Уравнение имеет корни при выполнении условия $D \ge 0$:
$9 - 8c \ge 0$
$9 \ge 8c$
$c \le \frac{9}{8}$
$c \le 1,125$

Ответ: уравнение имеет корни при $c \le \frac{9}{8}$ (или $c \le 1,125$).

б) $-3x^2 - 3x + c = 0$

Аналогично предыдущему пункту, найдем дискриминант и решим неравенство $D \ge 0$. Коэффициенты данного уравнения: $a = -3$, $b = -3$. Параметр — $c$. Вычислим дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot c = 9 + 12c$.

Уравнение имеет корни при выполнении условия $D \ge 0$:
$9 + 12c \ge 0$
$12c \ge -9$
$c \ge -\frac{9}{12}$
$c \ge -\frac{3}{4}$ (или $c \ge -0,75$)

Ответ: уравнение имеет корни при $c \ge -\frac{3}{4}$.

Имеет ли уравнение корни при c, равном $-1; -0,5; 0; 1,5$?

Проверим наличие корней для каждого из двух уравнений при заданных значениях параметра $c$, используя найденные выше условия.

Для уравнения а) $2x^2 - 3x + c = 0$, условие наличия корней: $c \le 1,125$.
- при $c = -1$: $-1 \le 1,125$, следовательно, корни есть.
- при $c = -0,5$: $-0,5 \le 1,125$, следовательно, корни есть.
- при $c = 0$: $0 \le 1,125$, следовательно, корни есть.
- при $c = 1,5$: $1,5 > 1,125$, следовательно, корней нет.

Для уравнения б) $-3x^2 - 3x + c = 0$, условие наличия корней: $c \ge -0,75$.
- при $c = -1$: $-1 < -0,75$, следовательно, корней нет.
- при $c = -0,5$: $-0,5 \ge -0,75$, следовательно, корни есть.
- при $c = 0$: $0 \ge -0,75$, следовательно, корни есть.
- при $c = 1,5$: $1,5 \ge -0,75$, следовательно, корни есть.

Ответ: для уравнения $2x^2 - 3x + c = 0$ корни имеются при $c \in \{-1; -0,5; 0\}$ и отсутствуют при $c = 1,5$. Для уравнения $-3x^2 - 3x + c = 0$ корни имеются при $c \in \{-0,5; 0; 1,5\}$ и отсутствуют при $c = -1$.

74 а) Найдите все целые положительные значения $c$, при которых можно разложить на множители квадратный трёхчлен $2x^2 + 8x + c$.

б) Найдите все целые отрицательные значения $c$, при которых можно разложить на множители квадратный трёхчлен $5x^2 - 10x - c$.

а)

Квадратный трёхчлен можно разложить на множители (в поле действительных чисел), если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Для трёхчлена $2x^2 + 8x + c$ коэффициенты равны $a = 2$, $b = 8$. Свободный член равен $c$.

Найдём дискриминант этого трёхчлена:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot c = 64 - 8c$.

Применим условие $D \ge 0$:

$64 - 8c \ge 0$.

Решим это неравенство относительно $c$:

$64 \ge 8c$

$c \le 8$.

Согласно условию задачи, мы ищем все целые положительные значения $c$. Это означает, что $c$ должно быть целым числом, большим нуля.

Объединяя два условия ($c$ — целое положительное и $c \le 8$), получаем, что $c$ может принимать значения $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.

Ответ: $c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.

б)

Для квадратного трёхчлена $5x^2 - 10x - c$ условие возможности разложения на множители остаётся тем же: его дискриминант $D$ должен быть неотрицателен.

Коэффициенты этого трёхчлена: $a=5$, $b=-10$. Важно заметить, что свободный член здесь равен $-c$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4a(\text{свободный член}) = (-10)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-c) = 100 + 20c$.

Условие $D \ge 0$ даёт нам следующее неравенство:

$100 + 20c \ge 0$.

Решим его относительно $c$:

$20c \ge -100$

$c \ge -5$.

По условию задачи, требуется найти все целые отрицательные значения $c$. Это означает, что $c$ должно быть целым числом, меньшим нуля.

Объединяя условия ($c$ — целое отрицательное и $c \ge -5$), находим все подходящие значения $c$: $-5, -4, -3, -2, -1$.

Ответ: $c \in \{-5, -4, -3, -2, -1\}$.