Номер 67, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.4 Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 67, страница 25.

67 а) Дом Петра находится на расстоянии 1200 м от школы и 600 м от дома Андрея. На каком расстоянии от школы может находиться дом Андрея?

б) Путь от дома до школы пешком занимает у Ирины 15 мин, а от дома до стадиона 30 мин. Все три пункта связаны прямолинейными дорогами. Сколько минут может занимать у неё дорога от школы до стадиона?

Подсказка. Изобразите на рисунке все дороги отрезками.

а)

Обозначим точки на карте: Ш — школа, П — дом Петра, А — дом Андрея. По условию задачи, расстояние от школы до дома Петра составляет $Р(Ш, П) = 1200$ м, а расстояние от дома Петра до дома Андрея — $Р(П, А) = 600$ м. Нам нужно найти возможное расстояние от школы до дома Андрея, то есть $Р(Ш, А)$.

Эти три точки (Ш, П, А) могут лежать на одной прямой или образовывать треугольник. Рассмотрим крайние случаи, когда они лежат на одной прямой, так как это даст нам максимальное и минимальное возможные расстояния.

Случай 1: Максимальное расстояние.
Это произойдет, если дом Петра находится между школой и домом Андрея. Все три точки лежат на одной прямой в последовательности Ш – П – А. В этом случае расстояние от школы до дома Андрея будет суммой расстояний:
$Р(Ш, А) = Р(Ш, П) + Р(П, А) = 1200 \text{ м} + 600 \text{ м} = 1800 \text{ м}$.

Случай 2: Минимальное расстояние.
Это произойдет, если дом Андрея находится между школой и домом Петра. Все три точки лежат на одной прямой в последовательности Ш – А – П. В этом случае расстояние от школы до дома Андрея будет разностью расстояний:
$Р(Ш, А) = Р(Ш, П) - Р(П, А) = 1200 \text{ м} - 600 \text{ м} = 600 \text{ м}$.

Если точки Ш, П, и А не лежат на одной прямой, они образуют треугольник. Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника не может быть больше суммы длин двух других сторон и не может быть меньше модуля их разности. Таким образом, расстояние $Р(Ш, А)$ будет находиться в пределах между минимальным и максимальным значениями:
$|Р(Ш, П) - Р(П, А)| \le Р(Ш, А) \le Р(Ш, П) + Р(П, А)$
$|1200 - 600| \le Р(Ш, А) \le 1200 + 600$
$600 \text{ м} \le Р(Ш, А) \le 1800 \text{ м}$

Следовательно, дом Андрея может находиться на расстоянии от 600 м до 1800 м от школы.

Ответ: от 600 м до 1800 м включительно.

б)

Обозначим точки: Д — дом Ирины, Ш — школа, С — стадион. По условию, время в пути пропорционально расстоянию, поскольку все дороги прямолинейные, а скорость пешком можно считать постоянной. Поэтому для отрезков времени можно применять те же правила, что и для расстояний (неравенство треугольника).

Известно, что время в пути от дома до школы составляет $Т(Д, Ш) = 15$ мин, а время от дома до стадиона — $Т(Д, С) = 30$ мин. Требуется найти возможное время в пути от школы до стадиона, то есть $Т(Ш, С)$.

Рассмотрим крайние случаи, когда все три точки (Д, Ш, С) лежат на одной прямой.

Случай 1: Максимальное время.
Это произойдет, если дом Ирины находится между школой и стадионом. Точки лежат на одной прямой в последовательности Ш – Д – С. В этом случае общее время пути от школы до стадиона будет суммой двух отрезков времени:
$Т(Ш, С) = Т(Ш, Д) + Т(Д, С) = 15 \text{ мин} + 30 \text{ мин} = 45 \text{ мин}$.

Случай 2: Минимальное время.
Это произойдет, если школа находится между домом Ирины и стадионом. Точки лежат на одной прямой в последовательности Д – Ш – С. В этом случае время от дома до стадиона является суммой $Т(Д, Ш) + Т(Ш, С)$.
$Т(Д, С) = Т(Д, Ш) + Т(Ш, С)$
$30 \text{ мин} = 15 \text{ мин} + Т(Ш, С)$
$Т(Ш, С) = 30 \text{ мин} - 15 \text{ мин} = 15 \text{ мин}$.

Заметим, что случай, когда стадион находится между домом и школой, невозможен, так как путь до стадиона (30 мин) длиннее пути до школы (15 мин).

Если точки Д, Ш, С не лежат на одной прямой, они образуют треугольник, и время пути от школы до стадиона будет находиться между найденными минимальным и максимальным значениями:
$|Т(Д, С) - Т(Д, Ш)| \le Т(Ш, С) \le Т(Д, С) + Т(Д, Ш)$
$|30 - 15| \le Т(Ш, С) \le 30 + 15$
$15 \text{ мин} \le Т(Ш, С) \le 45 \text{ мин}$

Следовательно, дорога от школы до стадиона может занимать у Ирины от 15 до 45 минут.

Ответ: от 15 до 45 минут включительно.