Номер 68, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.4 Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 68, страница 25.

68 Без построения графика определите, при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения и при каких — отрицательные:

a) $y = 3x - 7$;

б) $y = 1 - 6x.$

Для каждого случая изобразите схематически график функции.

Чтобы определить, при каких значениях аргумента $x$ функция принимает положительные или отрицательные значения, нужно решить неравенства $y > 0$ и $y < 0$ соответственно. Точка, в которой значение функции равно нулю ($y=0$), является границей между этими интервалами.

а) $y = 3x - 7$

1. Найдем, при каких $x$ функция принимает положительные значения ($y > 0$):
$3x - 7 > 0$
$3x > 7$
$x > \frac{7}{3}$

2. Найдем, при каких $x$ функция принимает отрицательные значения ($y < 0$):
$3x - 7 < 0$
$3x < 7$
$x < \frac{7}{3}$

3. Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($y = 0$):
$3x - 7 = 0$
$x = \frac{7}{3}$

Функция $y = 3x - 7$ является линейной, ее график — прямая. Угловой коэффициент $k=3$ положительный, значит, функция возрастающая. Она пересекает ось $x$ в точке $(\frac{7}{3}, 0)$ и ось $y$ в точке $(0, -7)$.

Схематический график функции:

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (\frac{7}{3}; +\infty)$ и отрицательные значения при $x \in (-\infty; \frac{7}{3})$.

---

б) $y = 1 - 6x$

1. Найдем, при каких $x$ функция принимает положительные значения ($y > 0$):
$1 - 6x > 0$
$1 > 6x$
$\frac{1}{6} > x$, или $x < \frac{1}{6}$

2. Найдем, при каких $x$ функция принимает отрицательные значения ($y < 0$):
$1 - 6x < 0$
$1 < 6x$
$\frac{1}{6} < x$, или $x > \frac{1}{6}$

3. Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($y = 0$):
$1 - 6x = 0$
$x = \frac{1}{6}$

Функция $y = 1 - 6x$ является линейной, ее график — прямая. Угловой коэффициент $k=-6$ отрицательный, значит, функция убывающая. Она пересекает ось $x$ в точке $(\frac{1}{6}, 0)$ и ось $y$ в точке $(0, 1)$.

Схематический график функции:

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; \frac{1}{6})$ и отрицательные значения при $x \in (\frac{1}{6}; +\infty)$.