Номер 61, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.4 Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 61, страница 24.

61 Приведите неравенство к виду $0x < b (0x \le b)$ или $0x > b (0x \ge b)$ и найдите множество его решений:

а) $\frac{1}{3}(6x + 3) < 3x - (x - 1);$

б) $19 - 6x \le x - 7(x + \frac{3}{2});$

в) $(2x + 1)^2 + (x - 2)^2 \ge 5(x + 1)(x - 1);$

г) $2(3x + 1) + x - 2 > 4x + 5 - 3(1 - x).$

а)

Дано неравенство $\frac{1}{3}(6x + 3) < 3x - (x - 1)$.

1. Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части умножим каждый член в скобках на $\frac{1}{3}$, а в правой части изменим знаки у членов в скобках на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус.

$\frac{1}{3} \cdot 6x + \frac{1}{3} \cdot 3 < 3x - x + 1$

2. Упростим обе части неравенства:

$2x + 1 < 2x + 1$

3. Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую часть, меняя их знаки при переносе.

$2x - 2x < 1 - 1$

4. Приведем подобные слагаемые. Получаем неравенство вида $0x < b$:

$0x < 0$

Это неравенство утверждает, что $0 < 0$, что является ложным утверждением при любом значении $x$. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

б)

Дано неравенство $19 - 6x \le x - 7(x + \frac{3}{2})$.

1. Раскроем скобки в правой части неравенства, умножив $-7$ на каждый член в скобках.

$19 - 6x \le x - 7x - 7 \cdot \frac{3}{2}$

2. Упростим правую часть:

$19 - 6x \le -6x - \frac{21}{2}$

3. Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую.

$-6x + 6x \le -\frac{21}{2} - 19$

4. Приведем подобные слагаемые. В левой части получаем $0x$. В правой части приведем числа к общему знаменателю:

$0x \le -\frac{21}{2} - \frac{38}{2}$

$0x \le -\frac{59}{2}$

Это неравенство вида $0x \le b$. Оно утверждает, что $0 \le -29.5$, что является ложным утверждением при любом значении $x$. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

в)

Дано неравенство $(2x + 1)^2 + (x - 2)^2 \ge 5(x + 1)(x - 1)$.

1. Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разность квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(4x^2 + 4x + 1) + (x^2 - 4x + 4) \ge 5(x^2 - 1)$

2. Раскроем оставшиеся скобки в правой части:

$4x^2 + 4x + 1 + x^2 - 4x + 4 \ge 5x^2 - 5$

3. Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(4x^2 + x^2) + (4x - 4x) + (1 + 4) \ge 5x^2 - 5$

$5x^2 + 5 \ge 5x^2 - 5$

4. Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую.

$5x^2 - 5x^2 \ge -5 - 5$

5. Приведем подобные слагаемые. Получаем неравенство вида $0x \ge b$ (в данном случае коэффициент при $x$ также равен нулю):

$0x \ge -10$

Это неравенство утверждает, что $0 \ge -10$, что является истинным утверждением при любом значении $x$, так как любое число, умноженное на ноль, равно нулю, а ноль всегда больше -10. Следовательно, решением неравенства является любое действительное число.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г)

Дано неравенство $2(3x + 1) + x - 2 > 4x + 5 - 3(1 - x)$.

1. Раскроем скобки в обеих частях неравенства.

$6x + 2 + x - 2 > 4x + 5 - 3 + 3x$

2. Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства.

$(6x + x) + (2 - 2) > (4x + 3x) + (5 - 3)$

$7x > 7x + 2$

3. Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные оставим в правой.

$7x - 7x > 2$

4. Приведем подобные слагаемые. Получаем неравенство вида $0x > b$:

$0x > 2$

Это неравенство утверждает, что $0 > 2$, что является ложным утверждением при любом значении $x$. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.