Страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Решите неравенство (№ 56–60):

59 а) $12 - x < \frac{5(x - 1)}{6}$;

б) $\frac{3(4x + 3)}{5} > 4x - 3$;

в) $\frac{3x + 6}{5} - \frac{3x - 8}{4} \ge 2$;

г) $\frac{1 + 8x}{11} \le 10 - \frac{3x + 2}{2}$;

д) $\frac{x - 4}{3} - 2 < \frac{x}{2}$;

е) $10x - \frac{9(3x + 7)}{4} > 33$.

а) $12 - x < \frac{5(x - 1)}{6}$
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на 6:
$6 \cdot (12 - x) < 5(x - 1)$
Раскроем скобки в обеих частях:
$72 - 6x < 5x - 5$
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой. Перенесем $-6x$ вправо и $-5$ влево, меняя их знаки:
$72 + 5 < 5x + 6x$
Приведем подобные слагаемые:
$77 < 11x$
Разделим обе части неравенства на 11. Так как 11 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$\frac{77}{11} < x$
$7 < x$
Ответ: $x > 7$.

б) $\frac{3(4x + 3)}{5} > 4x - 3$
Умножим обе части неравенства на 5:
$3(4x + 3) > 5(4x - 3)$
Раскроем скобки:
$12x + 9 > 20x - 15$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$9 + 15 > 20x - 12x$
Приведем подобные слагаемые:
$24 > 8x$
Разделим обе части на 8:
$3 > x$
Ответ: $x < 3$.

в) $\frac{3x + 6}{5} - \frac{3x - 8}{4} \ge 2$
Найдем наименьший общий знаменатель для 5 и 4, который равен 20. Умножим обе части неравенства на 20:
$20 \cdot \frac{3x + 6}{5} - 20 \cdot \frac{3x - 8}{4} \ge 20 \cdot 2$
$4(3x + 6) - 5(3x - 8) \ge 40$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй дробью:
$12x + 24 - 15x + 40 \ge 40$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-3x + 64 \ge 40$
Перенесем 64 в правую часть:
$-3x \ge 40 - 64$
$-3x \ge -24$
Разделим обе части на -3, при этом изменив знак неравенства на противоположный:
$x \le \frac{-24}{-3}$
$x \le 8$
Ответ: $x \le 8$.

г) $\frac{1 + 8x}{11} \le 10 - \frac{3x + 2}{2}$
Наименьший общий знаменатель для 11 и 2 равен 22. Умножим обе части на 22:
$22 \cdot \frac{1 + 8x}{11} \le 22 \cdot 10 - 22 \cdot \frac{3x + 2}{2}$
$2(1 + 8x) \le 220 - 11(3x + 2)$
Раскроем скобки:
$2 + 16x \le 220 - 33x - 22$
Упростим правую часть:
$2 + 16x \le 198 - 33x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$16x + 33x \le 198 - 2$
Приведем подобные слагаемые:
$49x \le 196$
Разделим обе части на 49:
$x \le \frac{196}{49}$
$x \le 4$
Ответ: $x \le 4$.

д) $\frac{x - 4}{3} - 2 < \frac{x}{2}$
Наименьший общий знаменатель для 3 и 2 равен 6. Умножим обе части на 6:
$6 \cdot \frac{x - 4}{3} - 6 \cdot 2 < 6 \cdot \frac{x}{2}$
$2(x - 4) - 12 < 3x$
Раскроем скобки:
$2x - 8 - 12 < 3x$
Упростим левую часть:
$2x - 20 < 3x$
Перенесем $2x$ в правую часть:
$-20 < 3x - 2x$
$-20 < x$
Ответ: $x > -20$.

е) $10x - \frac{9(3x + 7)}{4} > 33$
Умножим обе части неравенства на 4:
$4 \cdot 10x - 4 \cdot \frac{9(3x + 7)}{4} > 4 \cdot 33$
$40x - 9(3x + 7) > 132$
Раскроем скобки:
$40x - 27x - 63 > 132$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$13x - 63 > 132$
Перенесем -63 в правую часть:
$13x > 132 + 63$
$13x > 195$
Разделим обе части на 13:
$x > \frac{195}{13}$
$x > 15$
Ответ: $x > 15$.

60 Решите неравенство (№ 56–60):

а) $8 - 6(x - 5) \geq 5(2x - 7) - 7;$

б) $2x + 2(6x - 8) < 9(x + 4);$

в) $7(1 - x) + 15x \leq -2(x - 5) - 1;$

г) $2(x - 4) - (x - 5) \leq 1 - 7(2 - x).$

а) $8 - 6(x - 5) \ge 5(2x - 7) - 7$

Для решения неравенства сначала раскроем скобки в обеих его частях:

$8 - 6 \cdot x - 6 \cdot (-5) \ge 5 \cdot 2x - 5 \cdot 7 - 7$

$8 - 6x + 30 \ge 10x - 35 - 7$

Теперь приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$(8 + 30) - 6x \ge 10x - (35 + 7)$

$38 - 6x \ge 10x - 42$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в одну часть, а свободные члены — в другую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный:

$38 + 42 \ge 10x + 6x$

Снова приведем подобные слагаемые:

$80 \ge 16x$

Для удобства прочтения поменяем части неравенства местами, не забыв изменить знак неравенства на противоположный:

$16x \le 80$

Разделим обе части неравенства на положительное число 16. Знак неравенства при этом не меняется:

$x \le \frac{80}{16}$

$x \le 5$

Решение неравенства можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; 5]$.

б) $2x + 2(6x - 8) < 9(x + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$2x + 2 \cdot 6x - 2 \cdot 8 < 9 \cdot x + 9 \cdot 4$

$2x + 12x - 16 < 9x + 36$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$14x - 16 < 9x + 36$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую:

$14x - 9x < 36 + 16$

Упростим обе части:

$5x < 52$

Разделим обе части на 5 (знак неравенства не меняется):

$x < \frac{52}{5}$

Можно представить ответ в виде десятичной дроби:

$x < 10.4$

Запишем решение в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; 10.4)$.

в) $7(1 - x) + 15x \le -2(x - 5) - 1$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$7 \cdot 1 - 7 \cdot x + 15x \le -2 \cdot x - 2 \cdot (-5) - 1$

$7 - 7x + 15x \le -2x + 10 - 1$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$7 + 8x \le -2x + 9$

Перенесем слагаемые с переменной влево, а числа вправо:

$8x + 2x \le 9 - 7$

Упростим:

$10x \le 2$

Разделим обе части на 10:

$x \le \frac{2}{10}$

$x \le \frac{1}{5}$ или $x \le 0.2$

Запишем решение в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; 0.2]$.

г) $2(x - 4) - (x - 5) \le 1 - 7(2 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. Обратим внимание на знак минус перед скобками, который меняет знаки слагаемых внутри них:

$2x - 8 - x + 5 \le 1 - (14 - 7x)$

$2x - 8 - x + 5 \le 1 - 14 + 7x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$(2x - x) + (-8 + 5) \le (1 - 14) + 7x$

$x - 3 \le -13 + 7x$

Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а свободные члены — в левую:

$-3 + 13 \le 7x - x$

Упростим обе части:

$10 \le 6x$

Поменяем части неравенства местами, изменив знак на противоположный:

$6x \ge 10$

Разделим обе части на 6:

$x \ge \frac{10}{6}$

Сократим дробь:

$x \ge \frac{5}{3}$

Запишем решение в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in [\frac{5}{3}; +\infty)$.

61 Приведите неравенство к виду $0x < b (0x \le b)$ или $0x > b (0x \ge b)$ и найдите множество его решений:

а) $\frac{1}{3}(6x + 3) < 3x - (x - 1);$

б) $19 - 6x \le x - 7(x + \frac{3}{2});$

в) $(2x + 1)^2 + (x - 2)^2 \ge 5(x + 1)(x - 1);$

г) $2(3x + 1) + x - 2 > 4x + 5 - 3(1 - x).$

а)

Дано неравенство $\frac{1}{3}(6x + 3) < 3x - (x - 1)$.

1. Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части умножим каждый член в скобках на $\frac{1}{3}$, а в правой части изменим знаки у членов в скобках на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус.

$\frac{1}{3} \cdot 6x + \frac{1}{3} \cdot 3 < 3x - x + 1$

2. Упростим обе части неравенства:

$2x + 1 < 2x + 1$

3. Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую часть, меняя их знаки при переносе.

$2x - 2x < 1 - 1$

4. Приведем подобные слагаемые. Получаем неравенство вида $0x < b$:

$0x < 0$

Это неравенство утверждает, что $0 < 0$, что является ложным утверждением при любом значении $x$. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

б)

Дано неравенство $19 - 6x \le x - 7(x + \frac{3}{2})$.

1. Раскроем скобки в правой части неравенства, умножив $-7$ на каждый член в скобках.

$19 - 6x \le x - 7x - 7 \cdot \frac{3}{2}$

2. Упростим правую часть:

$19 - 6x \le -6x - \frac{21}{2}$

3. Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую.

$-6x + 6x \le -\frac{21}{2} - 19$

4. Приведем подобные слагаемые. В левой части получаем $0x$. В правой части приведем числа к общему знаменателю:

$0x \le -\frac{21}{2} - \frac{38}{2}$

$0x \le -\frac{59}{2}$

Это неравенство вида $0x \le b$. Оно утверждает, что $0 \le -29.5$, что является ложным утверждением при любом значении $x$. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

в)

Дано неравенство $(2x + 1)^2 + (x - 2)^2 \ge 5(x + 1)(x - 1)$.

1. Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разность квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(4x^2 + 4x + 1) + (x^2 - 4x + 4) \ge 5(x^2 - 1)$

2. Раскроем оставшиеся скобки в правой части:

$4x^2 + 4x + 1 + x^2 - 4x + 4 \ge 5x^2 - 5$

3. Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(4x^2 + x^2) + (4x - 4x) + (1 + 4) \ge 5x^2 - 5$

$5x^2 + 5 \ge 5x^2 - 5$

4. Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую.

$5x^2 - 5x^2 \ge -5 - 5$

5. Приведем подобные слагаемые. Получаем неравенство вида $0x \ge b$ (в данном случае коэффициент при $x$ также равен нулю):

$0x \ge -10$

Это неравенство утверждает, что $0 \ge -10$, что является истинным утверждением при любом значении $x$, так как любое число, умноженное на ноль, равно нулю, а ноль всегда больше -10. Следовательно, решением неравенства является любое действительное число.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г)

Дано неравенство $2(3x + 1) + x - 2 > 4x + 5 - 3(1 - x)$.

1. Раскроем скобки в обеих частях неравенства.

$6x + 2 + x - 2 > 4x + 5 - 3 + 3x$

2. Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства.

$(6x + x) + (2 - 2) > (4x + 3x) + (5 - 3)$

$7x > 7x + 2$

3. Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные оставим в правой.

$7x - 7x > 2$

4. Приведем подобные слагаемые. Получаем неравенство вида $0x > b$:

$0x > 2$

Это неравенство утверждает, что $0 > 2$, что является ложным утверждением при любом значении $x$. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

62 Решите неравенство:

а) $\frac{2 - x}{6} + \frac{x + 7}{15} < \frac{8 - x}{2}$;

б) $\frac{2x + 1}{18} - \frac{x + 2}{9} < \frac{x - 6}{6}$;

в) $\frac{19}{4} - \frac{5x + 16}{3} \le \frac{3x + 1}{4} - 2x$;

г) $\frac{x - 3}{8} + \frac{3x - 37}{2} \le \frac{25 - x}{4} + 3$;

д) $\frac{3 - 4x}{7} + \frac{6x - 5}{5} \ge \frac{10x - 9}{14} - \frac{5x - 9}{10}$;

е) $\frac{x - 1}{2} - \frac{x + 4}{3} + \frac{x + 5}{5} < x - 4$.

а) Исходное неравенство: $\frac{2-x}{6} + \frac{x+7}{15} < \frac{8-x}{2}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 6, 15 и 2. НОК(6, 15, 2) = 30.
$30 \cdot \left(\frac{2-x}{6} + \frac{x+7}{15}\right) < 30 \cdot \frac{8-x}{2}$
$5(2-x) + 2(x+7) < 15(8-x)$
Раскроем скобки:
$10 - 5x + 2x + 14 < 120 - 15x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$24 - 3x < 120 - 15x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$-3x + 15x < 120 - 24$
$12x < 96$
Разделим обе части на 12:
$x < 8$
Ответ: $x \in (-\infty; 8)$.

б) Исходное неравенство: $\frac{2x+1}{18} - \frac{x+2}{9} < \frac{x-6}{6}$.
НОК знаменателей 18, 9 и 6 равно 18. Умножим обе части на 18:
$18 \cdot \left(\frac{2x+1}{18} - \frac{x+2}{9}\right) < 18 \cdot \frac{x-6}{6}$
$1(2x+1) - 2(x+2) < 3(x-6)$
Раскроем скобки:
$2x + 1 - 2x - 4 < 3x - 18$
Приведем подобные слагаемые:
$-3 < 3x - 18$
Перенесем -18 в левую часть:
$18 - 3 < 3x$
$15 < 3x$
Разделим на 3 (знак неравенства сохраняется):
$5 < x$
Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

в) Исходное неравенство: $\frac{19}{4} - \frac{5x+16}{3} \leq \frac{3x+1}{4} - 2x$.
НОК знаменателей 4 и 3 равно 12. Умножим обе части на 12:
$12 \cdot \left(\frac{19}{4} - \frac{5x+16}{3}\right) \leq 12 \cdot \left(\frac{3x+1}{4} - 2x\right)$
$3 \cdot 19 - 4(5x+16) \leq 3(3x+1) - 12 \cdot 2x$
Раскроем скобки:
$57 - 20x - 64 \leq 9x + 3 - 24x$
Приведем подобные слагаемые с обеих сторон:
$-7 - 20x \leq -15x + 3$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$-7 - 3 \leq -15x + 20x$
$-10 \leq 5x$
Разделим на 5:
$-2 \leq x$
Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $\frac{x-3}{8} + \frac{3x-37}{2} \leq \frac{25-x}{4} + 3$.
НОК знаменателей 8, 2 и 4 равно 8. Умножим обе части на 8:
$8 \cdot \left(\frac{x-3}{8} + \frac{3x-37}{2}\right) \leq 8 \cdot \left(\frac{25-x}{4} + 3\right)$
$1(x-3) + 4(3x-37) \leq 2(25-x) + 8 \cdot 3$
Раскроем скобки:
$x - 3 + 12x - 148 \leq 50 - 2x + 24$
Приведем подобные слагаемые:
$13x - 151 \leq 74 - 2x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$13x + 2x \leq 74 + 151$
$15x \leq 225$
Разделим на 15:
$x \leq 15$
Ответ: $x \in (-\infty; 15]$.

д) Исходное неравенство: $\frac{3-4x}{7} + \frac{6x-5}{5} \geq \frac{10x-9}{14} - \frac{5x-9}{10}$.
НОК знаменателей 7, 5, 14 и 10 равно 70. Умножим обе части на 70:
$70 \cdot \left(\frac{3-4x}{7} + \frac{6x-5}{5}\right) \geq 70 \cdot \left(\frac{10x-9}{14} - \frac{5x-9}{10}\right)$
$10(3-4x) + 14(6x-5) \geq 5(10x-9) - 7(5x-9)$
Раскроем скобки:
$30 - 40x + 84x - 70 \geq 50x - 45 - 35x + 63$
Приведем подобные слагаемые:
$44x - 40 \geq 15x + 18$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$44x - 15x \geq 18 + 40$
$29x \geq 58$
Разделим на 29:
$x \geq 2$
Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

е) Исходное неравенство: $\frac{x-1}{2} - \frac{x+4}{3} + \frac{x+5}{5} < x-4$.
НОК знаменателей 2, 3 и 5 равно 30. Умножим обе части на 30:
$30 \cdot \left(\frac{x-1}{2} - \frac{x+4}{3} + \frac{x+5}{5}\right) < 30 \cdot (x-4)$
$15(x-1) - 10(x+4) + 6(x+5) < 30x - 120$
Раскроем скобки:
$15x - 15 - 10x - 40 + 6x + 30 < 30x - 120$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$11x - 25 < 30x - 120$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$120 - 25 < 30x - 11x$
$95 < 19x$
Разделим на 19:
$5 < x$
Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

Найдите все решения неравенства, принадлежащие заданному промежутку:

а) $ \frac{2x - 1}{2} > \frac{1 + 5x}{8} - 1 $, $ [-2; 3] $;

б) $ \frac{(2x + 1)^2}{3} - \frac{2x + 1}{2} \le \frac{8x^2}{3} - 1 $, $ [-3; -1] $;

в) $ \frac{x + 2}{20} - \frac{1 - 2x}{5} \le \frac{3x}{20} - \frac{1}{10} $, $ [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}] $;

г) $ \frac{3x - 2}{5} + \frac{1}{2} \ge \frac{4x + 1}{5} - \frac{1}{2} $, $ [-15; 15] $.

а) Решим неравенство $\frac{2x - 1}{2} > \frac{1 + 5x}{8} - 1$.
Для того чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 8:
$8 \cdot \frac{2x - 1}{2} > 8 \cdot \left(\frac{1 + 5x}{8} - 1\right)$
$4(2x - 1) > (1 + 5x) - 8$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$8x - 4 > 5x - 7$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$8x - 5x > -7 + 4$
$3x > -3$
Разделим обе части на 3:
$x > -1$
Таким образом, решением неравенства является промежуток $(-1; +\infty)$.
Теперь найдем все решения, принадлежащие заданному промежутку $[-2; 3]$. Для этого найдем пересечение множества решений неравенства $(-1; +\infty)$ и промежутка $[-2; 3]$:
$(-1; +\infty) \cap [-2; 3] = (-1; 3]$.
Ответ: $x \in (-1; 3]$.

б) Решим неравенство $\frac{(2x + 1)^2}{3} - \frac{2x + 1}{2} \le \frac{8x^2}{3} - 1$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 6:
$2(2x + 1)^2 - 3(2x + 1) \le 2(8x^2) - 6$
Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$:
$2(4x^2 + 4x + 1) - 6x - 3 \le 16x^2 - 6$
$8x^2 + 8x + 2 - 6x - 3 \le 16x^2 - 6$
Приведем подобные слагаемые:
$8x^2 + 2x - 1 \le 16x^2 - 6$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 \le 16x^2 - 8x^2 - 2x - 6 + 1$
$0 \le 8x^2 - 2x - 5$
Решим квадратное уравнение $8x^2 - 2x - 5 = 0$ для нахождения корней.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 4 + 160 = 164$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{164}}{16} = \frac{2 \pm 2\sqrt{41}}{16} = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{8}$.
Так как ветви параболы $y = 8x^2 - 2x - 5$ направлены вверх, неравенство $8x^2 - 2x - 5 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями:
$x \in \left(-\infty; \frac{1 - \sqrt{41}}{8}\right] \cup \left[\frac{1 + \sqrt{41}}{8}; +\infty\right)$.
Найдем решения, принадлежащие промежутку $[-3; -1]$. Оценим значение корней: $6 < \sqrt{41} < 7$.
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{41}}{8} \approx \frac{1 - 6.4}{8} \approx -0.675$.
$x_2 = \frac{1 + \sqrt{41}}{8} \approx \frac{1 + 6.4}{8} \approx 0.925$.
Так как $x_1 \approx -0.675$, то $x_1 > -1$. Весь заданный промежуток $[-3; -1]$ меньше, чем $x_1$. Следовательно, все значения из промежутка $[-3; -1]$ удовлетворяют условию $x \le x_1$.
Пересечением множества решений и заданного промежутка является сам промежуток $[-3; -1]$.
Ответ: $x \in [-3; -1]$.

в) Решим неравенство $\frac{x + 2}{20} - \frac{1 - 2x}{5} \le \frac{3x}{20} - \frac{1}{10}$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 20:
$(x + 2) - 4(1 - 2x) \le 3x - 2$
Раскроем скобки и упростим:
$x + 2 - 4 + 8x \le 3x - 2$
$9x - 2 \le 3x - 2$
Перенесем слагаемые:
$9x - 3x \le -2 + 2$
$6x \le 0$
$x \le 0$
Решением неравенства является промежуток $(-\infty; 0]$.
Найдем пересечение этого решения с заданным промежутком $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$:
$(-\infty; 0] \cap [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}] = [-\frac{1}{2}; 0]$.
Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}; 0]$.

г) Решим неравенство $\frac{3x - 2}{5} + \frac{1}{2} \ge \frac{4x + 1}{5} - \frac{1}{2}$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 10:
$2(3x - 2) + 5 \ge 2(4x + 1) - 5$
Раскроем скобки и упростим:
$6x - 4 + 5 \ge 8x + 2 - 5$
$6x + 1 \ge 8x - 3$
Перенесем слагаемые:
$1 + 3 \ge 8x - 6x$
$4 \ge 2x$
$2 \ge x$ или $x \le 2$
Решением неравенства является промежуток $(-\infty; 2]$.
Найдем пересечение этого решения с заданным промежутком $[-15; 15]$:
$(-\infty; 2] \cap [-15; 15] = [-15; 2]$.
Ответ: $x \in [-15; 2]$.

64 а) Найдите наибольшее целое число, при котором разность дробей $ \frac{3x + 7}{4} $ и $ \frac{16 - 3x}{3} $ отрицательна.

б) Найдите наименьшее целое число, при котором сумма дробей $ \frac{3x - 7}{4} $ и $ \frac{16 + 3x}{3} $ положительна.

а) Чтобы найти наибольшее целое число, при котором разность дробей $ \frac{3x + 7}{4} $ и $ \frac{16 - 3x}{3} $ отрицательна, составим и решим неравенство:

$ \frac{3x + 7}{4} - \frac{16 - 3x}{3} < 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$ \frac{3(3x + 7)}{12} - \frac{4(16 - 3x)}{12} < 0 $

Так как знаменатель 12 положителен, знак неравенства определяется знаком числителя. Запишем неравенство для числителей:

$ 3(3x + 7) - 4(16 - 3x) < 0 $

Раскроем скобки:

$ 9x + 21 - 64 + 12x < 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 21x - 43 < 0 $

Перенесем -43 в правую часть с противоположным знаком:

$ 21x < 43 $

Найдем $x$:

$ x < \frac{43}{21} $

Выделим целую часть дроби: $ \frac{43}{21} = 2\frac{1}{21} $. Таким образом, $ x < 2\frac{1}{21} $. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, — это 2.

Ответ: 2.

б) Чтобы найти наименьшее целое число, при котором сумма дробей $ \frac{3x - 7}{4} $ и $ \frac{16 + 3x}{3} $ положительна, составим и решим неравенство:

$ \frac{3x - 7}{4} + \frac{16 + 3x}{3} > 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$ \frac{3(3x - 7)}{12} + \frac{4(16 + 3x)}{12} > 0 $

Так как знаменатель 12 положителен, знак неравенства определяется знаком числителя. Запишем неравенство для числителей:

$ 3(3x - 7) + 4(16 + 3x) > 0 $

Раскроем скобки:

$ 9x - 21 + 64 + 12x > 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 21x + 43 > 0 $

Перенесем 43 в правую часть с противоположным знаком:

$ 21x > -43 $

Найдем $x$:

$ x > -\frac{43}{21} $

Выделим целую часть дроби: $ -\frac{43}{21} = -2\frac{1}{21} $. Таким образом, $ x > -2\frac{1}{21} $. Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, — это -2.

Ответ: -2.

65 a) Найдите все целые положительные решения неравенства $3x < \sqrt{45}$.

б) Найдите все целые отрицательные решения неравенства $-2x < \sqrt{24}$.

а)

Нам нужно найти все целые положительные решения неравенства $3x < \sqrt{45}$.

Сначала оценим значение $\sqrt{45}$. Мы знаем, что $6^2 = 36$ и $7^2 = 49$. Так как $36 < 45 < 49$, то можно сделать вывод, что $6 < \sqrt{45} < 7$.

Теперь решим неравенство относительно $x$. Для этого разделим обе его части на 3 (поскольку 3 — положительное число, знак неравенства не меняется):
$x < \frac{\sqrt{45}}{3}$

Используя найденную оценку для $\sqrt{45}$, мы можем оценить и правую часть неравенства:
$\frac{6}{3} < \frac{\sqrt{45}}{3} < \frac{7}{3}$
$2 < \frac{\sqrt{45}}{3} < 2,33...$

Таким образом, мы ищем целые положительные числа $x$, которые удовлетворяют условию $x < \frac{\sqrt{45}}{3}$, где $\frac{\sqrt{45}}{3}$ — это число, немного большее 2.

Целые числа, которые меньше, чем 2,33..., это 2, 1, 0, -1 и так далее. По условию задачи нам нужны только положительные целые решения. Такими числами являются 1 и 2.

Проверим найденные решения:
- Если $x = 1$, то $3 \cdot 1 = 3$. Неравенство $3 < \sqrt{45}$ верно, так как $3^2 = 9$, а $9 < 45$.
- Если $x = 2$, то $3 \cdot 2 = 6$. Неравенство $6 < \sqrt{45}$ верно, так как $6^2 = 36$, а $36 < 45$.
- Если взять следующее целое число $x = 3$, то $3 \cdot 3 = 9$. Неравенство $9 < \sqrt{45}$ неверно, так как $9^2 = 81$, а $81 > 45$.

Следовательно, целыми положительными решениями являются 1 и 2.

Ответ: 1, 2.

б)

Нам нужно найти все целые отрицательные решения неравенства $-2x < \sqrt{24}$.

Сначала оценим значение $\sqrt{24}$. Мы знаем, что $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$. Так как $16 < 24 < 25$, то можно сделать вывод, что $4 < \sqrt{24} < 5$.

Теперь решим неравенство относительно $x$. Для этого разделим обе его части на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{\sqrt{24}}{-2}$
$x > -\frac{\sqrt{24}}{2}$

Используя найденную оценку для $\sqrt{24}$, оценим правую часть нового неравенства:
Поскольку $4 < \sqrt{24} < 5$, то $-5 < -\sqrt{24} < -4$.
Теперь разделим на 2:
$-\frac{5}{2} < -\frac{\sqrt{24}}{2} < -\frac{4}{2}$
$-2,5 < -\frac{\sqrt{24}}{2} < -2$

Таким образом, мы ищем целые отрицательные числа $x$, которые удовлетворяют условию $x > -\frac{\sqrt{24}}{2}$, где $-\frac{\sqrt{24}}{2}$ — это число, находящееся между -2,5 и -2.

Целые числа, которые больше, чем число между -2,5 и -2, это -2, -1, 0, 1 и так далее. По условию задачи нам нужны только отрицательные целые решения. Такими числами являются -2 и -1.

Проверим найденные решения:
- Если $x = -1$, то $-2 \cdot (-1) = 2$. Неравенство $2 < \sqrt{24}$ верно, так как $2^2 = 4$, а $4 < 24$.
- Если $x = -2$, то $-2 \cdot (-2) = 4$. Неравенство $4 < \sqrt{24}$ верно, так как $4^2 = 16$, а $16 < 24$.
- Если взять следующее целое отрицательное число $x = -3$, то $-2 \cdot (-3) = 6$. Неравенство $6 < \sqrt{24}$ неверно, так как $6^2 = 36$, а $36 > 24$.

Следовательно, целыми отрицательными решениями являются -2 и -1.

Ответ: -2, -1.

66 Решите задачу, составив неравенство по её условию:

а) Фермер перевозит на грузовике картофель в мешках по 40 кг. Масса грузовика без груза равна 4500 кг. Какое количество мешков с картофелем может находиться в грузовике, чтобы он мог переехать через ручей по мосту, выдерживающему груз в 7 тонн?

$4500 + 40x \le 7000$

б) В 2015 г. один из операторов городской телефонной связи в Москве предлагал следующие условия ежемесячной оплаты: абонентская плата составляет 194 р. плюс 48 к. за каждую минуту (полную и неполную) исходящего вызова на городские номера. Сколько минут разговоров с исходящими вызовами может позволить себе абонент, если он планирует платить за телефон не более 320 р. в месяц?

$194 + 0.48y \le 320$

а)

Пусть $x$ — искомое количество мешков с картофелем, которое может перевезти грузовик.

Масса одного мешка с картофелем равна 40 кг. Следовательно, масса $x$ мешков равна $40x$ кг.

Масса самого грузовика без груза составляет 4500 кг.

Общая масса грузовика с картофелем равна сумме массы грузовика и массы всех мешков: $4500 + 40x$ кг.

Мост выдерживает груз в 7 тонн. Переведем тонны в килограммы, чтобы все величины были в одних единицах измерения. Поскольку 1 тонна = 1000 кг, то 7 тонн = 7000 кг.

Чтобы грузовик мог переехать через мост, его общая масса должна быть не больше максимальной нагрузки, которую выдерживает мост. Составим неравенство:

$4500 + 40x \le 7000$

Теперь решим это неравенство относительно $x$:

$40x \le 7000 - 4500$

$40x \le 2500$

$x \le \frac{2500}{40}$

$x \le \frac{250}{4}$

$x \le 62.5$

Так как количество мешков может быть только целым числом, наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 62. Таким образом, в грузовике может находиться не более 62 мешков.

Ответ: 62 мешка.

б)

Пусть $m$ — количество минут разговоров, которое может позволить себе абонент.

Абонентская плата составляет 194 рубля в месяц.

Стоимость каждой минуты исходящего вызова — 48 копеек. Переведем копейки в рубли: 48 к. = 0,48 р.

Стоимость всех минут разговора за месяц составит $0.48m$ рублей.

Общая сумма расходов на телефон за месяц складывается из абонентской платы и стоимости всех минут разговора: $194 + 0.48m$ рублей.

По условию, абонент планирует платить за телефон не более 320 рублей в месяц. Составим неравенство:

$194 + 0.48m \le 320$

Решим это неравенство относительно $m$:

$0.48m \le 320 - 194$

$0.48m \le 126$

$m \le \frac{126}{0.48}$

$m \le \frac{12600}{48}$

$m \le 262.5$

В условии сказано, что оплата взимается за каждую минуту (полную и неполную). Это означает, что количество минут, за которое списывается плата, должно быть целым числом. Если абонент проговорит, например, 262.1 минуты, плату с него возьмут как за 263 минуты.

Проверим стоимость 263 минут: $194 + 0.48 \times 263 = 194 + 126.24 = 320.24$ р., что больше 320 р.

Следовательно, максимальное количество полных минут, которое может позволить себе абонент, — это 262. Проверим стоимость 262 минут: $194 + 0.48 \times 262 = 194 + 125.76 = 319.76$ р., что не превышает 320 р.

Ответ: 262 минуты.