Страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Решите систему неравенств (№ 83–84):

84 a) $\begin{cases} x > -3, \\ x > -1, \\ x < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x < -0.25, \\ x < 0.5, \\ x < -0.4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x - 5 < 0, \\ x + 4 \ge 2, \\ 3x + 3 > 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} -7x \ge 14, \\ \frac{x}{3} > -1, \\ 3(x - 1) < 6. \end{cases}$

а)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x > -3, \\ x > -1, \\ x < 0. \end{cases} $

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Найдём это пересечение, изобразив его на числовой оси. Необходимо найти значения $x$, которые одновременно больше -3, больше -1 и меньше 0.

Если $x > -1$, то он автоматически больше -3. Таким образом, первые два неравенства можно заменить одним: $x > -1$.

Система упрощается до:

$ \begin{cases} x > -1, \\ x < 0. \end{cases} $

Это означает, что искомые значения $x$ находятся между -1 и 0.

Ответ: $x \in (-1; 0)$.

б)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x < -0,25, \\ x < 0,5, \\ x < -0,4. \end{cases} $

Чтобы найти решение системы, необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют всем трём неравенствам одновременно. Все неравенства имеют вид $x < a$.

Чтобы $x$ был меньше всех трёх чисел ($-0,25$; $0,5$; $-0,4$), он должен быть меньше наименьшего из них.

Сравним эти числа: $-0,4 < -0,25 < 0,5$.

Наименьшее число — это $-0,4$. Следовательно, решение системы — это все $x$, такие что $x < -0,4$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,4)$.

в)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} 2x - 5 < 0, \\ x + 4 \ge 2, \\ 3x + 3 > 0. \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $2x - 5 < 0 \implies 2x < 5 \implies x < \frac{5}{2} \implies x < 2,5$.

2) $x + 4 \ge 2 \implies x \ge 2 - 4 \implies x \ge -2$.

3) $3x + 3 > 0 \implies 3x > -3 \implies x > -1$.

Теперь объединим полученные решения в систему:

$ \begin{cases} x < 2,5, \\ x \ge -2, \\ x > -1. \end{cases} $

Найдём пересечение интервалов $(-\infty; 2,5)$, $[-2; +\infty)$ и $(-1; +\infty)$. Условие $x > -1$ является более строгим, чем $x \ge -2$, поэтому система эквивалентна следующей:

$ \begin{cases} x < 2,5, \\ x > -1. \end{cases} $

Решением является интервал от -1 до 2,5, не включая концы.

Ответ: $x \in (-1; 2,5)$.

г)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} -7x \ge 14, \\ \frac{x}{3} > -1, \\ 3(x - 1) < 6. \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $-7x \ge 14$. Разделим обе части на -7, изменив знак неравенства на противоположный: $x \le \frac{14}{-7} \implies x \le -2$.

2) $\frac{x}{3} > -1$. Умножим обе части на 3: $x > -3$.

3) $3(x - 1) < 6$. Разделим обе части на 3: $x - 1 < 2 \implies x < 3$.

Теперь объединим полученные решения в систему:

$ \begin{cases} x \le -2, \\ x > -3, \\ x < 3. \end{cases} $

Найдём пересечение множеств решений $(-\infty; -2]$, $(-3; +\infty)$ и $(-\infty; 3)$.

Пересечение $x > -3$ и $x < 3$ даёт интервал $(-3; 3)$.

Теперь найдём пересечение этого интервала с условием $x \le -2$: $(-3; 3) \cap (-\infty; -2]$.

Это числа, которые больше -3 и одновременно меньше или равны -2.

Ответ: $x \in (-3; -2]$.

85 При каких значениях параметра c система неравенств $\begin{cases} 5x + 2 \le 0, \\ x - c \ge 0 \end{cases}$ имеет решения? имеет единственное решение? не имеет решений?

имеет решения?
Рассмотрим данную систему неравенств:
$ \begin{cases} 5x + 2 \le 0 \\ x - c \ge 0 \end{cases} $
Решим каждое неравенство относительно переменной $x$.
Из первого неравенства получаем:
$5x \le -2 \implies x \le -\frac{2}{5}$
Решением этого неравенства является промежуток $(-\infty; -2/5]$.
Из второго неравенства получаем:
$x \ge c$
Решением этого неравенства является промежуток $[c; +\infty)$.
Решением системы является пересечение этих двух промежутков: $x \in (-\infty; -2/5] \cap [c; +\infty)$.
Для того чтобы система имела решения, это пересечение не должно быть пустым. Это возможно, если левая граница второго промежутка ($c$) меньше или равна правой границе первого промежутка ($-2/5$).
Таким образом, должно выполняться условие $c \le -2/5$. В этом случае решением системы будет непустой промежуток $[c; -2/5]$.
Ответ: система имеет решения при $c \in (-\infty; -2/5]$.

имеет единственное решение?
Система неравенств имеет единственное решение, когда промежуток, являющийся ее решением, вырождается в одну точку. Как мы выяснили ранее, решением системы является промежуток $[c; -2/5]$.
Этот промежуток будет состоять из одной точки, если его левая и правая границы совпадают:
$c = -2/5$
При этом значении параметра $c$ система принимает вид $ \begin{cases} x \le -2/5 \\ x \ge -2/5 \end{cases} $, что равносильно уравнению $x = -2/5$. Это и есть единственное решение.
Ответ: система имеет единственное решение при $c = -2/5$.

не имеет решений?
Система неравенств не имеет решений, когда пересечение промежутков $(-\infty; -2/5]$ и $[c; +\infty)$ является пустым множеством.
Это происходит в случае, когда левая граница второго промежутка ($c$) строго больше правой границы первого промежутка ($-2/5$).
$c > -2/5$
При таком условии не существует ни одного значения $x$, которое бы одновременно удовлетворяло и первому, и второму неравенству.
Ответ: система не имеет решений при $c \in (-2/5; +\infty)$.

86 МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС

Определите, возможна следующая ситуация или нет.

а) Один покупатель, расплачиваясь в магазине за 3 кг огурцов по 50 р. за килограмм и 2 кг моркови, заплатил меньше 230 р., а другой за 4 кг этих же огурцов и килограмм этой же моркови заплатил больше 230 р.

Пусть $x$ — цена 1 кг моркови:

$3 \cdot 50 + 2x < 230$

$4 \cdot 50 + x > 230$

б) Один покупатель за 4 тетради по 25 р. и 12 одинаковых шариковых ручек заплатил меньше 200 р., а другой за 2 такие же тетради и 15 таких же ручек заплатил больше 200 р.

Пусть $y$ — цена одной шариковой ручки:

$4 \cdot 25 + 12y < 200$

$2 \cdot 25 + 15y > 200$

а)

Чтобы определить, возможна ли данная ситуация, составим систему неравенств. Пусть $x$ — цена 1 кг моркови в рублях. Цена 1 кг огурцов известна и составляет 50 рублей.

Первый покупатель купил 3 кг огурцов и 2 кг моркови. Стоимость его покупки: $3 \times 50 + 2 \times x = 150 + 2x$. По условию, он заплатил меньше 230 рублей. Это можно записать как первое неравенство:
$150 + 2x < 230$

Второй покупатель купил 4 кг огурцов и 1 кг моркови. Стоимость его покупки: $4 \times 50 + 1 \times x = 200 + x$. По условию, он заплатил больше 230 рублей. Это можно записать как второе неравенство:
$200 + x > 230$

Теперь решим полученную систему неравенств: $\begin{cases} 150 + 2x < 230 \\ 200 + x > 230 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем:
$2x < 230 - 150$
$2x < 80$
$x < 40$

Из второго неравенства получаем:
$x > 230 - 200$
$x > 30$

Мы получили, что цена моркови должна быть в интервале $30 < x < 40$. Так как такой интервал цен существует (например, цена моркови может быть 35 рублей за кг), то данная ситуация возможна.

Ответ: да, такая ситуация возможна.

б)

Аналогично предыдущему пункту, составим систему неравенств. Пусть $y$ — цена одной шариковой ручки в рублях. Цена одной тетради известна и составляет 25 рублей.

Первый покупатель купил 4 тетради и 12 ручек. Стоимость его покупки: $4 \times 25 + 12 \times y = 100 + 12y$. По условию, он заплатил меньше 200 рублей. Получаем первое неравенство:
$100 + 12y < 200$

Второй покупатель купил 2 тетради и 15 ручек. Стоимость его покупки: $2 \times 25 + 15 \times y = 50 + 15y$. По условию, он заплатил больше 200 рублей. Получаем второе неравенство:
$50 + 15y > 200$

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 100 + 12y < 200 \\ 50 + 15y > 200 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем:
$12y < 200 - 100$
$12y < 100$
$y < \frac{100}{12}$
$y < \frac{25}{3}$ или $y < 8\frac{1}{3}$

Из второго неравенства получаем:
$15y > 200 - 50$
$15y > 150$
$y > 10$

Мы получили, что цена ручки $y$ должна одновременно удовлетворять двум условиям: быть меньше $8\frac{1}{3}$ рублей и больше 10 рублей. Не существует числа, которое было бы одновременно меньше $8\frac{1}{3}$ и больше 10. Следовательно, такая ситуация невозможна.

Ответ: нет, такая ситуация невозможна.

87 a) В классе играли в игру «Задумай число». Учитель сказал: «Я задумал целое нечётное число. Если к нему прибавить 15, то сумма окажется меньше утроенного задуманного числа, а если прибавить 10, то сумма будет больше удвоенного числа. Какое число я задумал?» Дайте ответ на этот вопрос.
Пусть задуманное число будет $x$.
Из первого условия: $x + 15 < 3x$
Из второго условия: $x + 10 > 2x$

б) В следующий раз условие было таким: «Я задумал целое число. Прибавив к нему 20, я получу больше, чем если бы умножил его на 8, но меньше, чем если бы умножил его на 9. Какое число я задумал?» Подумав, один из учеников сказал, что это невозможно. Докажите это.
Пусть задуманное число будет $x$.
Из условий: $8x < x + 20 < 9x$

а) Обозначим задуманное учителем число как $x$. По условию задачи, $x$ является целым нечётным числом. Составим систему неравенств на основе двух других условий:

1. «Если к нему прибавить 15, то сумма окажется меньше утроенного задуманного числа». Это можно записать как: $x + 15 < 3x$.

2. «...а если прибавить 10, то сумма будет больше удвоенного числа». Это можно записать как: $x + 10 > 2x$.

Теперь решим получившуюся систему неравенств.

Решаем первое неравенство:
$x + 15 < 3x$
$15 < 3x - x$
$15 < 2x$
$x > \frac{15}{2}$
$x > 7.5$

Решаем второе неравенство:
$x + 10 > 2x$
$10 > 2x - x$
$10 > x$ или $x < 10$

Мы получили, что задуманное число $x$ должно быть больше 7.5 и меньше 10, то есть $7.5 < x < 10$. В этом интервале находятся два целых числа: 8 и 9. Поскольку по условию число должно быть нечётным, единственным подходящим вариантом является 9.

Проверим, удовлетворяет ли число 9 всем условиям:
1. $9 + 15 < 3 \cdot 9 \implies 24 < 27$ (Верно)
2. $9 + 10 > 2 \cdot 9 \implies 19 > 18$ (Верно)
Все условия выполняются.

Ответ: Задуманное число — 9.

б) Обозначим задуманное число как $y$. По условию, $y$ — целое число. Условие «Прибавив к нему 20, я получу больше, чем если бы умножил его на 8, но меньше, чем если бы умножил его на 9» можно записать в виде двойного неравенства:

$8y < y + 20 < 9y$

Это двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств:
1. $8y < y + 20$
2. $y + 20 < 9y$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Решаем первое неравенство:
$8y < y + 20$
$8y - y < 20$
$7y < 20$
$y < \frac{20}{7}$
$y < 2\frac{6}{7}$

Решаем второе неравенство:
$y + 20 < 9y$
$20 < 9y - y$
$20 < 8y$
$y > \frac{20}{8}$
$y > \frac{5}{2}$
$y > 2.5$

Мы ищем целое число $y$, которое удовлетворяет обоим условиям, то есть $2.5 < y < 2\frac{6}{7}$. Поскольку $2\frac{6}{7}$ приблизительно равно 2.86, мы ищем целое число в интервале $(2.5; 2.86)$. В этом интервале нет ни одного целого числа. Следовательно, найти такое число невозможно, и ученик был прав.

Ответ: Ученик прав. Доказательство состоит в том, что решение задачи сводится к поиску целого числа $y$ в интервале $2.5 < y < 2\frac{6}{7}$, в котором нет ни одного целого числа.

88 1) Найдите промежуток, на котором функции $y = 2x - 4$ и $y = -\frac{1}{2}x - 2$ одновременно принимают отрицательные значения.

2) Проиллюстрируйте своё решение с помощью графиков; отметьте на оси $x$ соответствующий промежуток.

3) Укажите какое-нибудь значение аргумента, не принадлежащее отмеченному промежутку, и определите знак каждой из функций при этом значении.

4) Существуют ли значения аргумента, при которых обе функции принимают положительные значения? Проверьте свой ответ, решив систему неравенств.

1)Чтобы найти промежуток, на котором обе функции принимают отрицательные значения, необходимо решить систему неравенств:

$\begin{cases}y < 0 \\y < 0\end{cases}$

Подставим выражения для каждой функции:

$\begin{cases}2x - 4 < 0 \\-\frac{1}{2}x - 2 < 0\end{cases}$

Решим первое неравенство:
$2x < 4$
$x < 2$

Решим второе неравенство:
$-\frac{1}{2}x < 2$
Умножим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:
$x > -4$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x < 2$ и $x > -4$. Это соответствует промежутку, где выполняются оба условия.
Таким образом, обе функции одновременно принимают отрицательные значения на промежутке $(-4; 2)$.
Ответ: $(-4; 2)$.

2)Для иллюстрации решения построим графики линейных функций $y = 2x - 4$ (синяя линия) и $y = -\frac{1}{2}x - 2$ (красная линия).

• График функции $y = 2x - 4$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -4)$ и $(2, 0)$.
• График функции $y = -\frac{1}{2}x - 2$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(-4, 0)$.

На графике видно, что обе линии находятся ниже оси $x$ (то есть значения $y$ отрицательны) в интервале между $x = -4$ и $x = 2$. Этот промежуток выделен на оси $x$ зеленой линией.

Ответ: Графическая иллюстрация решения представлена выше.

3)Выберем значение аргумента $x$, не принадлежащее отмеченному промежутку $(-4; 2)$. Например, возьмем $x = 3$.
Определим знак каждой из функций при этом значении:
1) Для функции $y = 2x - 4$:
$y(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2$.
Значение функции положительное.
2) Для функции $y = -\frac{1}{2}x - 2$:
$y(3) = -\frac{1}{2} \cdot 3 - 2 = -1.5 - 2 = -3.5$.
Значение функции отрицательное.
Ответ: Например, при $x = 3$. Знак функции $y = 2x - 4$ — положительный ($y = 2$), а знак функции $y = -\frac{1}{2}x - 2$ — отрицательный ($y = -3.5$).

4)Чтобы выяснить, существуют ли значения аргумента, при которых обе функции принимают положительные значения, решим систему неравенств:

$\begin{cases}2x - 4 > 0 \\-\frac{1}{2}x - 2 > 0\end{cases}$

Решим первое неравенство:
$2x > 4$
$x > 2$

Решим второе неравенство:
$-\frac{1}{2}x > 2$
$x < -4$ (знак неравенства меняется при умножении на отрицательное число)

Нужно найти значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x > 2$ и $x < -4$. Таких чисел не существует, так как нет числа, которое было бы одновременно больше 2 и меньше -4. Пересечение множеств решений $(2; +\infty)$ и $(-\infty; -4)$ является пустым множеством.
Ответ: Нет, таких значений аргумента не существует, так как система неравенств не имеет решений.

89. Определите, при каких значениях $a$ данное выражение имеет смысл; приведите пример рационального и иррационального значений $a$, при которых данное выражение имеет смысл; при которых оно не имеет смысла:

а) $\sqrt{a + 2} + \sqrt{a - 2};$

б) $\sqrt{2a + 3} - \sqrt{3 - a}.$

а)

Выражение $\sqrt{a+2} + \sqrt{a-2}$ имеет смысл, если подкоренные выражения неотрицательны, то есть больше или равны нулю. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} a + 2 \ge 0 \\ a - 2 \ge 0 \end{cases} $

Решим эту систему:

$ \begin{cases} a \ge -2 \\ a \ge 2 \end{cases} $

Пересечением этих двух условий является $a \ge 2$. Таким образом, выражение имеет смысл при $a \in [2, +\infty)$.

Приведем примеры:

- Рациональное значение $a$, при котором выражение имеет смысл: $a = 3$. Это значение удовлетворяет условию $a \ge 2$.

- Иррациональное значение $a$, при котором выражение имеет смысл: $a = \pi$. Это значение удовлетворяет условию $\pi \approx 3.14 \ge 2$.

- Значение $a$, при котором выражение не имеет смысла: $a = 1$. Это значение не удовлетворяет условию $a \ge 2$. При $a = 1$ выражение $\sqrt{a-2}$ становится равным $\sqrt{-1}$, что не определено в действительных числах.

Ответ: выражение имеет смысл при $a \ge 2$. Пример рационального значения $a=3$, иррационального $a=\pi$. Выражение не имеет смысла, например, при $a=1$.

б)

Выражение $\sqrt{2a+3} - \sqrt{3-a}$ имеет смысл, если оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2a + 3 \ge 0 \\ 3 - a \ge 0 \end{cases} $

Решим эту систему:

$ \begin{cases} 2a \ge -3 \\ 3 \ge a \end{cases} $

$ \begin{cases} a \ge -1.5 \\ a \le 3 \end{cases} $

Таким образом, выражение имеет смысл при $-1.5 \le a \le 3$, или $a \in [-1.5, 3]$.

Приведем примеры:

- Рациональное значение $a$, при котором выражение имеет смысл: $a = 2$. Это значение находится в отрезке $[-1.5, 3]$.

- Иррациональное значение $a$, при котором выражение имеет смысл: $a = \sqrt{2}$. Это значение удовлетворяет условию $-1.5 \le \sqrt{2} \approx 1.414 \le 3$.

- Значение $a$, при котором выражение не имеет смысла: $a = 4$. Это значение не входит в отрезок $[-1.5, 3]$. При $a = 4$ выражение $\sqrt{3-a}$ становится равным $\sqrt{-1}$, что не определено в действительных числах.

Ответ: выражение имеет смысл при $-1.5 \le a \le 3$. Пример рационального значения $a=2$, иррационального $a=\sqrt{2}$. Выражение не имеет смысла, например, при $a=4$.