Номер 85, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.5 Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 85, страница 29.

85 При каких значениях параметра c система неравенств $\begin{cases} 5x + 2 \le 0, \\ x - c \ge 0 \end{cases}$ имеет решения? имеет единственное решение? не имеет решений?

имеет решения?
Рассмотрим данную систему неравенств:
$ \begin{cases} 5x + 2 \le 0 \\ x - c \ge 0 \end{cases} $
Решим каждое неравенство относительно переменной $x$.
Из первого неравенства получаем:
$5x \le -2 \implies x \le -\frac{2}{5}$
Решением этого неравенства является промежуток $(-\infty; -2/5]$.
Из второго неравенства получаем:
$x \ge c$
Решением этого неравенства является промежуток $[c; +\infty)$.
Решением системы является пересечение этих двух промежутков: $x \in (-\infty; -2/5] \cap [c; +\infty)$.
Для того чтобы система имела решения, это пересечение не должно быть пустым. Это возможно, если левая граница второго промежутка ($c$) меньше или равна правой границе первого промежутка ($-2/5$).
Таким образом, должно выполняться условие $c \le -2/5$. В этом случае решением системы будет непустой промежуток $[c; -2/5]$.
Ответ: система имеет решения при $c \in (-\infty; -2/5]$.

имеет единственное решение?
Система неравенств имеет единственное решение, когда промежуток, являющийся ее решением, вырождается в одну точку. Как мы выяснили ранее, решением системы является промежуток $[c; -2/5]$.
Этот промежуток будет состоять из одной точки, если его левая и правая границы совпадают:
$c = -2/5$
При этом значении параметра $c$ система принимает вид $ \begin{cases} x \le -2/5 \\ x \ge -2/5 \end{cases} $, что равносильно уравнению $x = -2/5$. Это и есть единственное решение.
Ответ: система имеет единственное решение при $c = -2/5$.

не имеет решений?
Система неравенств не имеет решений, когда пересечение промежутков $(-\infty; -2/5]$ и $[c; +\infty)$ является пустым множеством.
Это происходит в случае, когда левая граница второго промежутка ($c$) строго больше правой границы первого промежутка ($-2/5$).
$c > -2/5$
При таком условии не существует ни одного значения $x$, которое бы одновременно удовлетворяло и первому, и второму неравенству.
Ответ: система не имеет решений при $c \in (-2/5; +\infty)$.