Номер 92, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.6 Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 92, страница 33.

92 Сравните с нулём:

а) $a^2 + b^2;$

б) $(a + b)^2;$

в) $-(a - b)^2;$

г) $a^2 + 1;$

д) $\frac{1}{a^2 + 1};$

е) $-\frac{1}{a^2 + 1}.$

а) Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Это означает, что $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$ для любых значений $a$ и $b$. Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом. Следовательно, $a^2 + b^2 \ge 0$. Выражение равно нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю, то есть $a^2 = 0$ и $b^2 = 0$, что возможно только при $a=0$ и $b=0$. Во всех остальных случаях выражение $a^2 + b^2$ строго больше нуля.
Ответ: Выражение $a^2 + b^2$ больше или равно нулю.

б) Выражение $(a + b)^2$ представляет собой квадрат суммы $a+b$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, $(a + b)^2 \ge 0$ для любых значений $a$ и $b$. Выражение равно нулю, когда основание степени равно нулю, то есть $a + b = 0$, или $a = -b$. Во всех остальных случаях выражение $(a + b)^2$ строго больше нуля.
Ответ: Выражение $(a + b)^2$ больше или равно нулю.

в) Рассмотрим выражение $(a - b)^2$. Это квадрат действительного числа, поэтому $(a - b)^2 \ge 0$. Исходное выражение представляет собой $-(a - b)^2$. Это число, противоположное неотрицательному числу. Число, противоположное неотрицательному, всегда является неположительным. Следовательно, $-(a - b)^2 \le 0$ для любых значений $a$ и $b$. Выражение равно нулю, когда $(a - b)^2 = 0$, то есть $a - b = 0$, или $a = b$. Во всех остальных случаях выражение $-(a - b)^2$ строго меньше нуля.
Ответ: Выражение $-(a - b)^2$ меньше или равно нулю.

г) Квадрат любого действительного числа $a$ неотрицателен: $a^2 \ge 0$. Минимальное значение $a^2$ равно 0 (при $a=0$). Прибавив 1 к неотрицательному числу, мы получим число, которое всегда больше или равно 1. $a^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $a^2 + 1 \ge 1$. Поскольку $1 > 0$, то выражение $a^2 + 1$ всегда строго больше нуля.
Ответ: Выражение $a^2 + 1$ больше нуля.

д) Рассмотрим знаменатель дроби: $a^2 + 1$. Как было показано в пункте г), это выражение всегда строго положительно: $a^2 + 1 \ge 1$. Числитель дроби равен 1, что также является положительным числом. Частное от деления положительного числа (1) на положительное число ($a^2 + 1$) всегда является положительным числом. Следовательно, $\frac{1}{a^2 + 1} > 0$.
Ответ: Выражение $\frac{1}{a^2 + 1}$ больше нуля.

е) Как было установлено в пункте д), дробь $\frac{1}{a^2 + 1}$ всегда строго положительна. Данное выражение представляет собой число, противоположное этой дроби. Число, противоположное положительному числу, всегда является отрицательным. Следовательно, $-\frac{1}{a^2 + 1} < 0$.
Ответ: Выражение $-\frac{1}{a^2 + 1}$ меньше нуля.