Номер 94, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.6 Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 94, страница 33.

94 Докажите, что для любых чисел $a$ и $b$ верно неравенство:

а) $a^2 + b^2 \ge 2ab;$

б) $(a + b)^2 \ge 4ab;$

в) $\frac{a^2 + 1}{2} \ge a;$

г) $\frac{a}{a^2 + 1} \le \frac{1}{2}.$

а) $a^2 + b^2 \geq 2ab$

Для доказательства перенесем все члены неравенства в левую часть:

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$

Левая часть этого неравенства представляет собой формулу квадрата разности:

$(a - b)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Следовательно, это неравенство верно для любых чисел a и b. Так как все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство верно.

Ответ: Неравенство доказано.

б) $(a + b)^2 \geq 4ab$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы:

$a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab$

Перенесем $4ab$ в левую часть неравенства:

$a^2 + 2ab - 4ab + b^2 \geq 0$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$

Как и в пункте а), свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(a - b)^2 \geq 0$

Это неравенство верно для любых действительных чисел a и b, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

в) $\frac{a^2 + 1}{2} \geq a$

Умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$a^2 + 1 \geq 2a$

Перенесем $2a$ в левую часть:

$a^2 - 2a + 1 \geq 0$

Левая часть является полным квадратом разности a и 1:

$(a - 1)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство верно для любого числа a. Исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

г) $\frac{a}{a^2 + 1} \leq \frac{1}{2}$

Перенесем $\frac{1}{2}$ в левую часть неравенства:

$\frac{a}{a^2 + 1} - \frac{1}{2} \leq 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $2(a^2 + 1)$:

$\frac{2a - (a^2 + 1)}{2(a^2 + 1)} \leq 0$

$\frac{2a - a^2 - 1}{2(a^2 + 1)} \leq 0$

Вынесем минус за скобки в числителе:

$\frac{-(a^2 - 2a + 1)}{2(a^2 + 1)} \leq 0$

Числитель $a^2 - 2a + 1$ является полным квадратом разности:

$\frac{-(a - 1)^2}{2(a^2 + 1)} \leq 0$

Рассмотрим полученную дробь. Выражение $(a - 1)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю). Знаменатель $2(a^2 + 1)$ всегда строго положителен, так как $a^2 \geq 0$, а значит $a^2+1 \geq 1$.

Дробь $\frac{(a - 1)^2}{2(a^2 + 1)}$ всегда неотрицательна. Если умножить ее на -1, результат будет всегда неположительным (меньше или равен нулю). Следовательно, неравенство верно для любого действительного числа a, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.