Номер 95, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.6 Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 95, страница 33.

95 Докажите, что если $a > 0$, то $a + \frac{1}{a} \ge 2$. Выполните доказательство двумя способами:

1) на основе оценки разности левой и правой частей неравенства;

2) с использованием неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Проиллюстрируйте доказанное свойство примерами.

1) на основе оценки разности левой и правой частей неравенства;

Чтобы доказать неравенство $a + \frac{1}{a} \ge 2$, рассмотрим разность его левой и правой частей и докажем, что она неотрицательна при $a > 0$.
$a + \frac{1}{a} - 2$
Приведем выражение к общему знаменателю $a$:
$a + \frac{1}{a} - 2 = \frac{a \cdot a}{a} + \frac{1}{a} - \frac{2 \cdot a}{a} = \frac{a^2 - 2a + 1}{a}$
Числитель дроби является полным квадратом разности: $a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.
Следовательно, выражение можно записать как:
$\frac{(a-1)^2}{a}$
Проанализируем знак этого выражения:
- Числитель $(a-1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда больше или равен нулю ($(a-1)^2 \ge 0$).
- Знаменатель $a$ по условию положителен ($a > 0$).
Частное от деления неотрицательного числа на положительное число всегда неотрицательно. Таким образом, $\frac{(a-1)^2}{a} \ge 0$.
Мы доказали, что $a + \frac{1}{a} - 2 \ge 0$, что равносильно исходному неравенству $a + \frac{1}{a} \ge 2$. Равенство достигается, когда числитель равен нулю, то есть при $a=1$.

Ответ: Неравенство доказано, так как разность левой и правой частей $\frac{(a-1)^2}{a}$ неотрицательна при $a > 0$.

2) с использованием неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим.

Неравенство о средних (неравенство Коши) для двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ утверждает, что их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического:
$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$
По условию $a > 0$, следовательно, и число $\frac{1}{a}$ также положительно. Применим неравенство Коши для чисел $x = a$ и $y = \frac{1}{a}$.
$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \ge \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}}$
Упростим правую часть:
$\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = \sqrt{1} = 1$
Теперь неравенство имеет вид:
$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \ge 1$
Умножим обе части на 2 (знак неравенства не изменится, так как 2 > 0):
$a + \frac{1}{a} \ge 2$
Неравенство доказано. Равенство в неравенстве о средних достигается тогда и только тогда, когда числа равны, то есть $a = \frac{1}{a}$, откуда $a^2 = 1$. Учитывая, что $a > 0$, получаем $a=1$.

Ответ: Неравенство доказано с помощью неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим.

Иллюстрация доказанного свойства примерами

Проверим справедливость неравенства $a + \frac{1}{a} \ge 2$ на нескольких примерах при $a>0$:
- При $a=1$: $1 + \frac{1}{1} = 2$. Верно, так как $2 \ge 2$ (случай равенства).
- При $a=2$: $2 + \frac{1}{2} = 2.5$. Верно, так как $2.5 \ge 2$.
- При $a=4$: $4 + \frac{1}{4} = 4.25$. Верно, так как $4.25 \ge 2$.
- При $a=0.5$: $0.5 + \frac{1}{0.5} = 0.5 + 2 = 2.5$. Верно, так как $2.5 \ge 2$.
- При $a=0.2$: $0.2 + \frac{1}{0.2} = 0.2 + 5 = 5.2$. Верно, так как $5.2 \ge 2$.
Примеры показывают, что сумма любого положительного числа и обратного ему числа действительно не меньше двух.