Номер 93, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.6 Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 93, страница 33.

93 Докажите алгебраическим способом свойства неравенств:

а) если $a \le b$ и $b \le c$, то $a \le c$;

б) если $a > b$ и $c$ — любое число, то $a + c > b + c$;

в) если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$;

г) если $a \le b$ и $c < 0$, то $ac \ge bc$.

а) По определению, неравенство $a \le b$ означает, что разность $b - a$ является неотрицательным числом, то есть $b - a \ge 0$.
Из условия $a \le b$ следует, что $b - a \ge 0$.
Из условия $b \le c$ следует, что $c - b \ge 0$.
Нам нужно доказать, что $a \le c$, то есть что разность $c - a$ является неотрицательным числом ($c - a \ge 0$).
Рассмотрим разность $c - a$. Представим ее в виде, добавив и вычтя $b$:
$c - a = (c - b) + (b - a)$.
Мы знаем, что $c - b \ge 0$ и $b - a \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом.
Следовательно, $(c - b) + (b - a) \ge 0$, а значит и $c - a \ge 0$.
Из $c - a \ge 0$ по определению следует, что $a \le c$, что и требовалось доказать.
Ответ: Свойство доказано.

б) По определению, неравенство $a > b$ означает, что разность $a - b$ является положительным числом, то есть $a - b > 0$.
Нам нужно доказать, что $a + c > b + c$. Для этого необходимо показать, что разность $(a + c) - (b + c)$ положительна.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$(a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b$.
Так как по условию $a > b$, то $a - b > 0$.
Следовательно, разность $(a + c) - (b + c)$ положительна, что по определению означает $a + c > b + c$, что и требовалось доказать.
Ответ: Свойство доказано.

в) Из условия $a > b$ следует, что разность $a - b$ является положительным числом: $a - b > 0$.
По условию $c$ также является положительным числом: $c > 0$.
Нам нужно доказать, что $ac > bc$. Для этого покажем, что разность $ac - bc$ положительна.
Рассмотрим разность $ac - bc$ и вынесем общий множитель $c$ за скобки:
$ac - bc = c(a - b)$.
Мы получили произведение двух положительных чисел: $c > 0$ и $(a - b) > 0$. Произведение двух положительных чисел всегда положительно.
Следовательно, $c(a - b) > 0$.
Это означает, что $ac - bc > 0$, из чего по определению следует, что $ac > bc$, что и требовалось доказать.
Ответ: Свойство доказано.

г) Из условия $a \le b$ следует, что разность $b - a$ является неотрицательным числом: $b - a \ge 0$.
По условию $c$ является отрицательным числом: $c < 0$.
Нам нужно доказать, что $ac \ge bc$. Для этого покажем, что разность $ac - bc$ является неотрицательным числом ($ac - bc \ge 0$).
Рассмотрим разность $ac - bc$ и вынесем общий множитель $c$ за скобки:
$ac - bc = c(a - b)$.
Преобразуем выражение в скобках: $a - b = -(b - a)$.
Тогда $c(a - b) = c \cdot (-(b - a)) = (-c)(b - a)$.
Проанализируем знаки множителей в выражении $(-c)(b - a)$:
1. Так как $c < 0$, то $-c > 0$ (положительное число).
2. Так как $a \le b$, то $b - a \ge 0$ (неотрицательное число).
Произведение положительного числа $(-c)$ и неотрицательного числа $(b - a)$ является неотрицательным числом.
Следовательно, $(-c)(b - a) \ge 0$.
Это означает, что $ac - bc \ge 0$, из чего по определению следует, что $ac \ge bc$, что и требовалось доказать.
Ответ: Свойство доказано.