Номер 87, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.5 Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 87, страница 29.

87 a) В классе играли в игру «Задумай число». Учитель сказал: «Я задумал целое нечётное число. Если к нему прибавить 15, то сумма окажется меньше утроенного задуманного числа, а если прибавить 10, то сумма будет больше удвоенного числа. Какое число я задумал?» Дайте ответ на этот вопрос.
Пусть задуманное число будет $x$.
Из первого условия: $x + 15 < 3x$
Из второго условия: $x + 10 > 2x$

б) В следующий раз условие было таким: «Я задумал целое число. Прибавив к нему 20, я получу больше, чем если бы умножил его на 8, но меньше, чем если бы умножил его на 9. Какое число я задумал?» Подумав, один из учеников сказал, что это невозможно. Докажите это.
Пусть задуманное число будет $x$.
Из условий: $8x < x + 20 < 9x$

а) Обозначим задуманное учителем число как $x$. По условию задачи, $x$ является целым нечётным числом. Составим систему неравенств на основе двух других условий:

1. «Если к нему прибавить 15, то сумма окажется меньше утроенного задуманного числа». Это можно записать как: $x + 15 < 3x$.

2. «...а если прибавить 10, то сумма будет больше удвоенного числа». Это можно записать как: $x + 10 > 2x$.

Теперь решим получившуюся систему неравенств.

Решаем первое неравенство:
$x + 15 < 3x$
$15 < 3x - x$
$15 < 2x$
$x > \frac{15}{2}$
$x > 7.5$

Решаем второе неравенство:
$x + 10 > 2x$
$10 > 2x - x$
$10 > x$ или $x < 10$

Мы получили, что задуманное число $x$ должно быть больше 7.5 и меньше 10, то есть $7.5 < x < 10$. В этом интервале находятся два целых числа: 8 и 9. Поскольку по условию число должно быть нечётным, единственным подходящим вариантом является 9.

Проверим, удовлетворяет ли число 9 всем условиям:
1. $9 + 15 < 3 \cdot 9 \implies 24 < 27$ (Верно)
2. $9 + 10 > 2 \cdot 9 \implies 19 > 18$ (Верно)
Все условия выполняются.

Ответ: Задуманное число — 9.

б) Обозначим задуманное число как $y$. По условию, $y$ — целое число. Условие «Прибавив к нему 20, я получу больше, чем если бы умножил его на 8, но меньше, чем если бы умножил его на 9» можно записать в виде двойного неравенства:

$8y < y + 20 < 9y$

Это двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств:
1. $8y < y + 20$
2. $y + 20 < 9y$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Решаем первое неравенство:
$8y < y + 20$
$8y - y < 20$
$7y < 20$
$y < \frac{20}{7}$
$y < 2\frac{6}{7}$

Решаем второе неравенство:
$y + 20 < 9y$
$20 < 9y - y$
$20 < 8y$
$y > \frac{20}{8}$
$y > \frac{5}{2}$
$y > 2.5$

Мы ищем целое число $y$, которое удовлетворяет обоим условиям, то есть $2.5 < y < 2\frac{6}{7}$. Поскольку $2\frac{6}{7}$ приблизительно равно 2.86, мы ищем целое число в интервале $(2.5; 2.86)$. В этом интервале нет ни одного целого числа. Следовательно, найти такое число невозможно, и ученик был прав.

Ответ: Ученик прав. Доказательство состоит в том, что решение задачи сводится к поиску целого числа $y$ в интервале $2.5 < y < 2\frac{6}{7}$, в котором нет ни одного целого числа.