Номер 80, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.5 Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 80, страница 28.

80. Решите систему неравенств (№ 78-81):

а) $\begin{cases} 6x - 1 < 5x - 2(x - 7), \\ 8 - x > 3x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2(3 - 2y) \ge 4 - 3y, \\ 1 - 2(3 - y) \ge 5 - 3y; \end{cases}$

В) $\begin{cases} z + 2 > 3(z - 2), \\ 3z - 2(1 + 2z) \le 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 6x - 1 < 5x - 2(x - 7) \\ 8 - x > 3x \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$6x - 1 < 5x - 2x + 14$

$6x - 1 < 3x + 14$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую:

$6x - 3x < 14 + 1$

$3x < 15$

разделим обе части на 3:

$x < 5$

Теперь решим второе неравенство:

$8 - x > 3x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть:

$8 > 3x + x$

$8 > 4x$

Разделим обе части на 4:

$2 > x$, или $x < 2$

Теперь нам нужно найти пересечение решений двух неравенств:

$\begin{cases} x < 5 \\ x < 2 \end{cases}$

Общим решением для этой системы является $x < 2$. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 2)$.

Ответ: $(-\infty; 2)$.

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2(3 - 2y) \ge 4 - 3y \\ 1 - 2(3 - y) \ge 5 - 3y \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$6 - 4y \ge 4 - 3y$

$6 - 4 \ge 4y - 3y$

$2 \ge y$, или $y \le 2$

Решим второе неравенство:

$1 - 2(3 - y) \ge 5 - 3y$

$1 - 6 + 2y \ge 5 - 3y$

$-5 + 2y \ge 5 - 3y$

$2y + 3y \ge 5 + 5$

$5y \ge 10$

$y \ge 2$

Теперь объединим решения в систему:

$\begin{cases} y \le 2 \\ y \ge 2 \end{cases}$

Единственное значение $y$, которое удовлетворяет обоим неравенствам одновременно, — это $y = 2$.

Ответ: $2$.

в) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} z + 2 > 3(z - 2) \\ 3z - 2(1 + 2z) \le 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$z + 2 > 3z - 6$

$2 + 6 > 3z - z$

$8 > 2z$

$4 > z$, или $z < 4$

Решим второе неравенство:

$3z - 2(1 + 2z) \le 0$

$3z - 2 - 4z \le 0$

$-z - 2 \le 0$

$-z \le 2$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$z \ge -2$

Объединим решения в систему:

$\begin{cases} z < 4 \\ z \ge -2 \end{cases}$

Решением системы является интервал, где $z$ одновременно больше или равно -2 и меньше 4. Это можно записать в виде двойного неравенства $-2 \le z < 4$ или в виде интервала $[-2; 4)$.

Ответ: $[-2; 4)$.