Страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

75 Каждую систему неравенств соотнесите с соответствующим ей промежутком координатной прямой:

A) $ \begin{cases} x < 2, \\ x < 5. \end{cases} $

Б) $ \begin{cases} x \geq -2, \\ x \geq -5. \end{cases} $

В) $ \begin{cases} x \geq -2, \\ x < 5. \end{cases} $

1)

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

2)

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

3)

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

А)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x < 2, \\ x < 5. \end{cases} $ Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Первое неравенство $x < 2$ задает промежуток $(-\infty; 2)$. Второе неравенство $x < 5$ задает промежуток $(-\infty; 5)$. Чтобы число удовлетворяло обоим условиям (было меньше 2 и меньше 5), оно должно быть меньше меньшего из этих чисел, то есть $x < 2$. Данному решению соответствует промежуток $(-\infty; 2)$. На координатных прямых этот промежуток изображен под номером 2. Он показывает все числа, которые меньше 2, при этом точка 2 отмечена "выколотым" (пустым) кружком, так как неравенство строгое.

Ответ: 2

Б)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x \ge -2, \\ x \ge -5. \end{cases} $ Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Первое неравенство $x \ge -2$ задает промежуток $[-2; +\infty)$. Второе неравенство $x \ge -5$ задает промежуток $[-5; +\infty)$. Чтобы число удовлетворяло обоим условиям (было больше или равно -2 и больше или равно -5), оно должно быть больше или равно большему из этих чисел, то есть $x \ge -2$. Данному решению соответствует промежуток $[-2; +\infty)$. На координатных прямых этот промежуток изображен под номером 3. Он показывает все числа, которые больше или равны -2, при этом точка -2 отмечена закрашенным кружком, так как неравенство нестрогое.

Ответ: 3

В)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x \ge -2, \\ x < 5. \end{cases} $ Решением системы являются все числа $x$, которые одновременно больше или равны -2 и строго меньше 5. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-2 \le x < 5$. Данному решению соответствует промежуток $[-2; 5)$. На координатных прямых этот промежуток изображен под номером 1. Он показывает все числа между -2 и 5, при этом точка -2 отмечена закрашенным кружком (неравенство нестрогое), а точка 5 отмечена "выколотым" кружком (неравенство строгое).

Ответ: 1

76 Проиллюстрируйте с помощью координатной прямой систему неравенств и запишите множество её решений:

а) $\begin{cases} x > 2,5 \\ x < 6 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x > -3 \\ x > 3 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x \le 0 \\ x \le 4 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x < 5 \\ x > 7 \end{cases}$

д) $\begin{cases} x > 2 \\ x \le -5 \end{cases}$

е) $\begin{cases} x \le 1,5 \\ x \ge -3,5 \end{cases}$

а) Дана система неравенств $\begin{cases} x > 2,5, \\ x < 6; \end{cases}$.
Изобразим решения каждого неравенства на координатной прямой. Для этого отметим точки 2,5 и 6. Так как оба неравенства строгие ($>$ и $<$), точки на прямой будут выколотыми (пустыми).
Решение первого неравенства $x > 2,5$ — это все числа, расположенные правее точки 2,5 (интервал $(2,5; +\infty)$).
Решение второго неравенства $x < 6$ — это все числа, расположенные левее точки 6 (интервал $(-\infty; 6)$).
Решением системы является пересечение этих двух множеств, то есть промежуток, где значения $x$ удовлетворяют обоим условиям. Это числа, которые одновременно больше 2,5 и меньше 6.
Ответ: $(2,5; 6)$.

б) Дана система неравенств $\begin{cases} x > -3, \\ x > 3; \end{cases}$.
На координатной прямой отметим выколотые точки -3 и 3.
Решение первого неравенства $x > -3$ — это все числа правее -3.
Решение второго неравенства $x > 3$ — это все числа правее 3.
Системе удовлетворяют те значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Если число больше 3, оно автоматически больше -3. Следовательно, пересечением множеств решений является множество чисел, больших 3.
Ответ: $(3; +\infty)$.

в) Дана система неравенств $\begin{cases} x \le 0, \\ x \le 4; \end{cases}$.
На координатной прямой отметим точки 0 и 4. Так как оба неравенства нестрогие ($\le$), точки на прямой будут закрашенными.
Решение первого неравенства $x \le 0$ — это все числа левее 0, включая саму точку 0.
Решение второго неравенства $x \le 4$ — это все числа левее 4, включая саму точку 4.
Решением системы является пересечение этих множеств. Если число меньше или равно 0, оно автоматически меньше или равно 4. Таким образом, решением будет множество чисел, меньших или равных 0.
Ответ: $(-\infty; 0]$.

г) Дана система неравенств $\begin{cases} x < 5, \\ x > 7; \end{cases}$.
На координатной прямой отметим выколотые точки 5 и 7.
Решение первого неравенства $x < 5$ — это все числа левее 5.
Решение второго неравенства $x > 7$ — это все числа правее 7.
Не существует чисел, которые одновременно были бы меньше 5 и больше 7. Множества решений этих двух неравенств не пересекаются. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: $\emptyset$.

д) Дана система неравенств $\begin{cases} x > 2, \\ x \le -5; \end{cases}$.
На координатной прямой отметим выколотую точку 2 и закрашенную точку -5.
Решение первого неравенства $x > 2$ — это все числа правее 2.
Решение второго неравенства $x \le -5$ — это все числа левее -5, включая саму точку -5.
Множества решений этих неравенств не имеют общих точек. Не существует числа, которое одновременно больше 2 и меньше или равно -5. Система не имеет решений.
Ответ: $\emptyset$.

е) Дана система неравенств $\begin{cases} x \le 1,5, \\ x \ge -3,5. \end{cases}$.
На координатной прямой отметим точки -3,5 и 1,5. Так как оба неравенства нестрогие ($\le$ и $\ge$), точки будут закрашенными.
Решение первого неравенства $x \le 1,5$ — это все числа левее 1,5, включая эту точку.
Решение второго неравенства $x \ge -3,5$ — это все числа правее -3,5, включая эту точку.
Решением системы является пересечение этих множеств, то есть все числа, которые находятся между -3,5 и 1,5, включая концы промежутка.
Ответ: $[-3,5; 1,5]$.

77 Решите систему неравенств и определите, сколько целых решений она имеет:

а) $\begin{cases} x - 4 > -3, \\ x + 6 < 10; \end{cases}$

б) $\begin{cases} z - 2 > 3, \\ z + 5 \ge -3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 6 - y > 2, \\ 5 + y > 8; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + 2 \le -2, \\ 2 - x \le 8; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 2y + 1 \le 1, \\ 2y + 3 \ge -2; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 5 + 2z > 7, \\ 3z - 5 < 4. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств $\begin{cases} x - 4 > -3 \\ x + 6 < 10 \end{cases}$.
Решая каждое неравенство в системе отдельно, получаем:
1) $x - 4 > -3 \implies x > -3 + 4 \implies x > 1$
2) $x + 6 < 10 \implies x < 10 - 6 \implies x < 4$
Решением системы является пересечение полученных множеств, то есть $1 < x < 4$.
Целые числа, которые удовлетворяют этому двойному неравенству, это 2 и 3. Всего 2 целых решения.
Ответ: 2.

б) Решим систему неравенств $\begin{cases} z - 2 > 3 \\ z + 5 \ge -3 \end{cases}$.
Решая каждое неравенство в системе отдельно, получаем:
1) $z - 2 > 3 \implies z > 3 + 2 \implies z > 5$
2) $z + 5 \ge -3 \implies z \ge -3 - 5 \implies z \ge -8$
Решением системы является пересечение условий $z > 5$ и $z \ge -8$, что равносильно $z > 5$.
Целые числа, которые удовлетворяют этому неравенству: 6, 7, 8, и так далее. Таких чисел бесконечно много.
Ответ: бесконечно много.

в) Решим систему неравенств $\begin{cases} 6 - y > 2 \\ 5 + y > 8 \end{cases}$.
Решая каждое неравенство в системе отдельно, получаем:
1) $6 - y > 2 \implies -y > 2 - 6 \implies -y > -4 \implies y < 4$
2) $5 + y > 8 \implies y > 8 - 5 \implies y > 3$
Решением системы является пересечение полученных множеств, то есть $3 < y < 4$.
В интервале $(3, 4)$ нет целых чисел.
Ответ: 0.

г) Решим систему неравенств $\begin{cases} x + 2 \le -2 \\ 2 - x \le 8 \end{cases}$.
Решая каждое неравенство в системе отдельно, получаем:
1) $x + 2 \le -2 \implies x \le -2 - 2 \implies x \le -4$
2) $2 - x \le 8 \implies -x \le 8 - 2 \implies -x \le 6 \implies x \ge -6$
Решением системы является пересечение полученных множеств, то есть $-6 \le x \le -4$.
Целые числа, которые удовлетворяют этому двойному неравенству, это -6, -5, -4. Всего 3 целых решения.
Ответ: 3.

д) Решим систему неравенств $\begin{cases} 2y + 1 \le 1 \\ 2y + 3 \ge -2 \end{cases}$.
Решая каждое неравенство в системе отдельно, получаем:
1) $2y + 1 \le 1 \implies 2y \le 1 - 1 \implies 2y \le 0 \implies y \le 0$
2) $2y + 3 \ge -2 \implies 2y \ge -2 - 3 \implies 2y \ge -5 \implies y \ge -2.5$
Решением системы является пересечение полученных множеств, то есть $-2.5 \le y \le 0$.
Целые числа, которые удовлетворяют этому двойному неравенству, это -2, -1, 0. Всего 3 целых решения.
Ответ: 3.

е) Решим систему неравенств $\begin{cases} 5 + 2z > 7 \\ 3z - 5 < 4 \end{cases}$.
Решая каждое неравенство в системе отдельно, получаем:
1) $5 + 2z > 7 \implies 2z > 7 - 5 \implies 2z > 2 \implies z > 1$
2) $3z - 5 < 4 \implies 3z < 4 + 5 \implies 3z < 9 \implies z < 3$
Решением системы является пересечение полученных множеств, то есть $1 < z < 3$.
Единственное целое число, которое удовлетворяет этому двойному неравенству, это 2.
Ответ: 1.

Решите систему неравенств (№ 78–81):

78 a) $\begin{cases} x + 5 > 0, \\ x - 2 > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5y - 20 < 0, \\ 2y + 5 > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 8 - 4z > 0, \\ 5z - 3 < 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3 - 5y \ge 0, \\ 4y - 1 \ge 0; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 3 - 9x > 0, \\ 3 - 6x < 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 3z + 4 < 0, \\ 3z + 1 < 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x + 5 > 0, \\ x - 2 > 0; \end{cases} $
1. Решаем первое неравенство: $x + 5 > 0$. Переносим 5 в правую часть, меняя знак: $x > -5$.
2. Решаем второе неравенство: $x - 2 > 0$. Переносим 2 в правую часть, меняя знак: $x > 2$.
3. Найдем пересечение полученных решений. На числовой прямой отметим оба интервала. Решением системы будет общая часть, где выполняются оба условия: $x > -5$ и $x > 2$. Это интервал $x > 2$.
В виде интервала: $(2, +\infty)$.
Ответ: $(2, +\infty)$.

б) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 5y - 20 < 0, \\ 2y + 5 > 0; \end{cases} $
1. Решаем первое неравенство: $5y - 20 < 0$. Переносим 20 в правую часть: $5y < 20$. Делим обе части на 5: $y < 4$.
2. Решаем второе неравенство: $2y + 5 > 0$. Переносим 5 в правую часть: $2y > -5$. Делим обе части на 2: $y > -2.5$.
3. Объединяем решения: нам нужны значения $y$, которые одновременно меньше 4 и больше -2.5. Это интервал $-2.5 < y < 4$.
В виде интервала: $(-2.5, 4)$.
Ответ: $(-2.5, 4)$.

в) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 8 - 4z > 0, \\ 5z - 3 < 0; \end{cases} $
1. Решаем первое неравенство: $8 - 4z > 0$. Переносим $4z$ в правую часть: $8 > 4z$. Делим обе части на 4: $2 > z$, что эквивалентно $z < 2$.
2. Решаем второе неравенство: $5z - 3 < 0$. Переносим 3 в правую часть: $5z < 3$. Делим обе части на 5: $z < \frac{3}{5}$ или $z < 0.6$.
3. Найдем пересечение решений: $z < 2$ и $z < 0.6$. Если число меньше 0.6, оно автоматически меньше 2. Следовательно, решением системы является $z < 0.6$.
В виде интервала: $(-\infty, 0.6)$.
Ответ: $(-\infty, 0.6)$.

г) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3 - 5y \ge 0, \\ 4y - 1 \ge 0; \end{cases} $
1. Решаем первое неравенство: $3 - 5y \ge 0$. Переносим $5y$ в правую часть: $3 \ge 5y$. Делим обе части на 5: $\frac{3}{5} \ge y$, что эквивалентно $y \le 0.6$.
2. Решаем второе неравенство: $4y - 1 \ge 0$. Переносим 1 в правую часть: $4y \ge 1$. Делим обе части на 4: $y \ge \frac{1}{4}$ или $y \ge 0.25$.
3. Объединяем решения: $y \le 0.6$ и $y \ge 0.25$. Это интервал $0.25 \le y \le 0.6$.
В виде интервала: $[0.25, 0.6]$.
Ответ: $[0.25, 0.6]$.

д) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3 - 9x > 0, \\ 3 - 6x < 0; \end{cases} $
1. Решаем первое неравенство: $3 - 9x > 0$. Переносим $9x$ в правую часть: $3 > 9x$. Делим обе части на 9: $\frac{3}{9} > x$, что эквивалентно $x < \frac{1}{3}$.
2. Решаем второе неравенство: $3 - 6x < 0$. Переносим $6x$ в правую часть: $3 < 6x$. Делим обе части на 6: $\frac{3}{6} < x$, что эквивалентно $x > \frac{1}{2}$.
3. Найдем пересечение решений: $x < \frac{1}{3}$ и $x > \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$, не существует числа, которое было бы одновременно меньше $\frac{1}{3}$ и больше $\frac{1}{2}$. Следовательно, у системы нет решений.
Ответ: нет решений.

е) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3z + 4 < 0, \\ 3z + 1 < 0. \end{cases} $
1. Решаем первое неравенство: $3z + 4 < 0$. Переносим 4 в правую часть: $3z < -4$. Делим обе части на 3: $z < -\frac{4}{3}$.
2. Решаем второе неравенство: $3z + 1 < 0$. Переносим 1 в правую часть: $3z < -1$. Делим обе части на 3: $z < -\frac{1}{3}$.
3. Найдем пересечение решений: $z < -\frac{4}{3}$ и $z < -\frac{1}{3}$. Так как $-\frac{4}{3} < -\frac{1}{3}$ (поскольку $-1.33... < -0.33...$), если число меньше $-\frac{4}{3}$, оно автоматически будет меньше и $-\frac{1}{3}$. Значит, решением системы является $z < -\frac{4}{3}$.
В виде интервала: $(-\infty, -\frac{4}{3})$.
Ответ: $(-\infty, -\frac{4}{3})$.

79 Решите систему неравенств (№ 78–81):

a) $ \begin{cases} 5x - 12 \ge 11x \\ 4x + 13 < 1 \end{cases}; $

б) $ \begin{cases} 3y - 10 \ge 4y - 4 \\ 3y + 2 \ge y + 8 \end{cases}; $

в) $ \begin{cases} 4z < z + 9 \\ 4 - 2z > 6 \end{cases}; $

г) $ \begin{cases} 3x + 5 \ge 4x - 2 \\ 6x - 1 \ge 3x + 5 \end{cases}. $

а)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} 5x - 12 \ge 11x, \\ 4x + 13 < 1; \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$5x - 12 \ge 11x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числа - в другую:

$5x - 11x \ge 12$

$-6x \ge 12$

Разделим обе части на -6 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x \le -2$

Решим второе неравенство:

$4x + 13 < 1$

Перенесем число 13 в правую часть с противоположным знаком:

$4x < 1 - 13$

$4x < -12$

Разделим обе части на 4:

$x < -3$

Теперь найдем пересечение решений $x \le -2$ и $x < -3$. Для этого можно изобразить оба решения на числовой оси. Пересечением двух промежутков $(-\infty; -2]$ и $(-\infty; -3)$ будет промежуток $(-\infty; -3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

б)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} 3y - 10 \ge 4y - 4, \\ 3y + 2 \ge y + 8; \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$3y - 10 \ge 4y - 4$

$3y - 4y \ge -4 + 10$

$-y \ge 6$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$y \le -6$

Решим второе неравенство:

$3y + 2 \ge y + 8$

$3y - y \ge 8 - 2$

$2y \ge 6$

Разделим обе части на 2:

$y \ge 3$

Найдем пересечение решений $y \le -6$ и $y \ge 3$. Не существует такого числа $y$, которое было бы одновременно меньше или равно -6 и больше или равно 3. Промежутки $(-\infty; -6]$ и $[3; +\infty)$ не пересекаются.

Ответ: нет решений.

в)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} 4z < z + 9, \\ 4 - 2z > 6; \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$4z < z + 9$

$4z - z < 9$

$3z < 9$

Разделим обе части на 3:

$z < 3$

Решим второе неравенство:

$4 - 2z > 6$

$-2z > 6 - 4$

$-2z > 2$

Разделим обе части на -2 и изменим знак неравенства на противоположный:

$z < -1$

Найдем пересечение решений $z < 3$ и $z < -1$. Пересечением промежутков $(-\infty; 3)$ и $(-\infty; -1)$ является промежуток $(-\infty; -1)$.

Ответ: $z \in (-\infty; -1)$.

г)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} 3x + 5 \ge 4x - 2, \\ 6x - 1 \ge 3x + 5; \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$3x + 5 \ge 4x - 2$

$5 + 2 \ge 4x - 3x$

$7 \ge x$, что эквивалентно $x \le 7$

Решим второе неравенство:

$6x - 1 \ge 3x + 5$

$6x - 3x \ge 5 + 1$

$3x \ge 6$

Разделим обе части на 3:

$x \ge 2$

Найдем пересечение решений $x \le 7$ и $x \ge 2$. Это соответствует двойному неравенству $2 \le x \le 7$. Пересечением промежутков $(-\infty; 7]$ и $[2; +\infty)$ является отрезок $[2; 7]$.

Ответ: $x \in [2; 7]$.

80. Решите систему неравенств (№ 78-81):

а) $\begin{cases} 6x - 1 < 5x - 2(x - 7), \\ 8 - x > 3x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2(3 - 2y) \ge 4 - 3y, \\ 1 - 2(3 - y) \ge 5 - 3y; \end{cases}$

В) $\begin{cases} z + 2 > 3(z - 2), \\ 3z - 2(1 + 2z) \le 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 6x - 1 < 5x - 2(x - 7) \\ 8 - x > 3x \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$6x - 1 < 5x - 2x + 14$

$6x - 1 < 3x + 14$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую:

$6x - 3x < 14 + 1$

$3x < 15$

разделим обе части на 3:

$x < 5$

Теперь решим второе неравенство:

$8 - x > 3x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть:

$8 > 3x + x$

$8 > 4x$

Разделим обе части на 4:

$2 > x$, или $x < 2$

Теперь нам нужно найти пересечение решений двух неравенств:

$\begin{cases} x < 5 \\ x < 2 \end{cases}$

Общим решением для этой системы является $x < 2$. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 2)$.

Ответ: $(-\infty; 2)$.

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2(3 - 2y) \ge 4 - 3y \\ 1 - 2(3 - y) \ge 5 - 3y \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$6 - 4y \ge 4 - 3y$

$6 - 4 \ge 4y - 3y$

$2 \ge y$, или $y \le 2$

Решим второе неравенство:

$1 - 2(3 - y) \ge 5 - 3y$

$1 - 6 + 2y \ge 5 - 3y$

$-5 + 2y \ge 5 - 3y$

$2y + 3y \ge 5 + 5$

$5y \ge 10$

$y \ge 2$

Теперь объединим решения в систему:

$\begin{cases} y \le 2 \\ y \ge 2 \end{cases}$

Единственное значение $y$, которое удовлетворяет обоим неравенствам одновременно, — это $y = 2$.

Ответ: $2$.

в) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} z + 2 > 3(z - 2) \\ 3z - 2(1 + 2z) \le 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$z + 2 > 3z - 6$

$2 + 6 > 3z - z$

$8 > 2z$

$4 > z$, или $z < 4$

Решим второе неравенство:

$3z - 2(1 + 2z) \le 0$

$3z - 2 - 4z \le 0$

$-z - 2 \le 0$

$-z \le 2$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$z \ge -2$

Объединим решения в систему:

$\begin{cases} z < 4 \\ z \ge -2 \end{cases}$

Решением системы является интервал, где $z$ одновременно больше или равно -2 и меньше 4. Это можно записать в виде двойного неравенства $-2 \le z < 4$ или в виде интервала $[-2; 4)$.

Ответ: $[-2; 4)$.

Решите систему неравенств (№ 78–81):

a) $$\begin{cases}\frac{x}{2} - \frac{x}{5} > 3, \\21 - x > 1;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}\frac{x}{3} + x < 2, \\2x - 4 < 0;\end{cases}$$

в) $$\begin{cases}2y > -3, \\\frac{y}{8} - \frac{y}{4} \le \frac{1}{2};\end{cases}$$

г) $$\begin{cases}3y + 4 > 4, \\\frac{y}{5} - y \ge 8.\end{cases}$$

а)

Решим первое неравенство системы:

$\frac{x}{2} - \frac{x}{5} > 3$

Чтобы избавиться от дробей, приведем левую часть к общему знаменателю 10:

$\frac{5x}{10} - \frac{2x}{10} > 3$

$\frac{3x}{10} > 3$

Умножим обе части неравенства на 10:

$3x > 30$

Разделим обе части на 3:

$x > 10$

Теперь решим второе неравенство системы:

$21 - x > 1$

Перенесем 21 в правую часть:

$-x > 1 - 21$

$-x > -20$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x < 20$

Мы получили два условия: $x > 10$ и $x < 20$. Решением системы является пересечение этих двух множеств, то есть все числа, которые больше 10 и одновременно меньше 20.

Ответ: $(10; 20)$.

б)

Решим первое неравенство системы:

$\frac{x}{3} + x < 2$

Приведем левую часть к общему знаменателю 3:

$\frac{x}{3} + \frac{3x}{3} < 2$

$\frac{4x}{3} < 2$

Умножим обе части на 3:

$4x < 6$

Разделим обе части на 4:

$x < \frac{6}{4}$ или $x < \frac{3}{2}$

Теперь решим второе неравенство системы:

$2x - 4 < 0$

Перенесем -4 в правую часть:

$2x < 4$

Разделим обе части на 2:

$x < 2$

Мы получили два условия: $x < \frac{3}{2}$ и $x < 2$. Пересечением этих двух множеств является множество чисел, удовлетворяющих самому строгому неравенству, то есть $x < \frac{3}{2}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{3}{2})$.

в)

Решим первое неравенство системы:

$2y > -3$

Разделим обе части на 2:

$y > -\frac{3}{2}$

Теперь решим второе неравенство системы:

$\frac{y}{8} - \frac{y}{4} \le \frac{1}{2}$

Приведем все дроби к общему знаменателю 8:

$\frac{y}{8} - \frac{2y}{8} \le \frac{4}{8}$

$\frac{-y}{8} \le \frac{4}{8}$

Умножим обе части на 8:

$-y \le 4$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$y \ge -4$

Мы получили два условия: $y > -\frac{3}{2}$ и $y \ge -4$. Так как $-\frac{3}{2} = -1.5$, то условие $y > -1.5$ является более строгим, чем $y \ge -4$. Пересечением этих множеств будет $y > -\frac{3}{2}$.

Ответ: $(-\frac{3}{2}; +\infty)$.

г)

Решим первое неравенство системы:

$3y + 4 > 4$

Вычтем 4 из обеих частей:

$3y > 0$

Разделим обе части на 3:

$y > 0$

Теперь решим второе неравенство системы:

$\frac{y}{5} - y \ge 8$

Приведем левую часть к общему знаменателю 5:

$\frac{y}{5} - \frac{5y}{5} \ge 8$

$\frac{-4y}{5} \ge 8$

Умножим обе части на 5:

$-4y \ge 40$

Разделим обе части на -4 и изменим знак неравенства на противоположный:

$y \le -10$

Мы получили два условия: $y > 0$ и $y \le -10$. Не существует чисел, которые одновременно больше 0 и меньше или равны -10. Следовательно, пересечение этих множеств пусто.

Ответ: нет решений.

82 Найдите решения двойного неравенства:

a) $-1 < 3x < 12;$

б) $3 \le -2y \le 9;$

в) $0 < z - 6 < 24;$

г) $-10 < x + 1 < 10;$

д) $0 \le 2y + 3 \le 18;$

е) $3 < 12 - z < 11.$

а)

Дано двойное неравенство: $-1 < 3x < 12$.

Чтобы найти $x$, нужно избавиться от коэффициента 3. Для этого разделим все три части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства не изменятся.

$-1/3 < (3x)/3 < 12/3$

$-1/3 < x < 4$

Решением является интервал от $-1/3$ до 4, не включая концы.

Ответ: $x \in (-1/3; 4)$

б)

Дано двойное неравенство: $3 \le -2y \le 9$.

Чтобы найти $y$, разделим все части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.

$3/(-2) \ge (-2y)/(-2) \ge 9/(-2)$

$-1.5 \ge y \ge -4.5$

Для удобства восприятия запишем неравенство в порядке возрастания, поменяв местами левую и правую части:

$-4.5 \le y \le -1.5$

Решением является отрезок от -4.5 до -1.5, включая концы.

Ответ: $y \in [-4.5; -1.5]$

в)

Дано двойное неравенство: $0 < z - 6 < 24$.

Чтобы найти $z$, прибавим ко всем частям неравенства 6. Знаки неравенства при этом не изменятся.

$0 + 6 < z - 6 + 6 < 24 + 6$

$6 < z < 30$

Решением является интервал от 6 до 30, не включая концы.

Ответ: $z \in (6; 30)$

г)

Дано двойное неравенство: $-10 < x + 1 < 10$.

Чтобы найти $x$, вычтем из всех частей неравенства 1. Знаки неравенства при этом не изменятся.

$-10 - 1 < x + 1 - 1 < 10 - 1$

$-11 < x < 9$

Решением является интервал от -11 до 9, не включая концы.

Ответ: $x \in (-11; 9)$

д)

Дано двойное неравенство: $0 \le 2y + 3 \le 18$.

Сначала вычтем 3 из всех частей неравенства:

$0 - 3 \le 2y + 3 - 3 \le 18 - 3$

$-3 \le 2y \le 15$

Теперь разделим все части на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не изменятся.

$-3/2 \le (2y)/2 \le 15/2$

$-1.5 \le y \le 7.5$

Решением является отрезок от -1.5 до 7.5, включая концы.

Ответ: $y \in [-1.5; 7.5]$

е)

Дано двойное неравенство: $3 < 12 - z < 11$.

Сначала вычтем 12 из всех частей неравенства:

$3 - 12 < 12 - z - 12 < 11 - 12$

$-9 < -z < -1$

Теперь умножим все части на -1, чтобы найти $z$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.

$(-9) \cdot (-1) > (-z) \cdot (-1) > (-1) \cdot (-1)$

$9 > z > 1$

Запишем неравенство в стандартном виде, от меньшего к большему:

$1 < z < 9$

Решением является интервал от 1 до 9, не включая концы.

Ответ: $z \in (1; 9)$

83 Решите систему неравенств (№ 83-84):

a) $$ \begin{cases} 3 - \frac{x-1}{2} > 1, \\ 2x + \frac{x}{3} < 7; \end{cases} $$

б) $$ \begin{cases} 1 - \frac{2x+3}{3} > 2 - \frac{x+1}{4}, \\ 5(x-4) - 8 > 6(2x-1) - 1; \end{cases} $$

в) $$ \begin{cases} \frac{x+1}{4} - \frac{x+1}{6} < \frac{x+1}{3}, \\ \frac{x-3}{4} + x < 2x - \frac{x-3}{8}. \end{cases} $$

а)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 3 - \frac{x-1}{2} > 1 \\ 2x + \frac{x}{3} < 7 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $3 - \frac{x-1}{2} > 1$.

Перенесем 3 в правую часть неравенства:

$-\frac{x-1}{2} > 1 - 3$

$-\frac{x-1}{2} > -2$

Умножим обе части на -2, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x-1 < (-2) \cdot (-2)$

$x-1 < 4$

Перенесем -1 в правую часть:

$x < 4 + 1$

$x < 5$

2. Решим второе неравенство $2x + \frac{x}{3} < 7$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на 3:

$3 \cdot (2x + \frac{x}{3}) < 3 \cdot 7$

$6x + x < 21$

$7x < 21$

Разделим обе части на 7:

$x < \frac{21}{7}$

$x < 3$

3. Найдем пересечение решений двух неравенств.

Первое неравенство выполняется при $x < 5$, второе — при $x < 3$. Чтобы система выполнялась, должны выполняться оба условия. Следовательно, решением системы является пересечение этих множеств, то есть $x < 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

б)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 1 - \frac{2x+3}{3} > 2 - \frac{x+1}{4} \\ 5(x-4) - 8 > 6(2x-1) - 1 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $1 - \frac{2x+3}{3} > 2 - \frac{x+1}{4}$.

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, который равен 12:

$12 \cdot 1 - 12 \cdot \frac{2x+3}{3} > 12 \cdot 2 - 12 \cdot \frac{x+1}{4}$

$12 - 4(2x+3) > 24 - 3(x+1)$

Раскроем скобки:

$12 - 8x - 12 > 24 - 3x - 3$

$-8x > 21 - 3x$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$-8x + 3x > 21$

$-5x > 21$

Разделим обе части на -5, изменив знак неравенства:

$x < -\frac{21}{5}$

$x < -4.2$

2. Решим второе неравенство $5(x-4) - 8 > 6(2x-1) - 1$.

Раскроем скобки:

$5x - 20 - 8 > 12x - 6 - 1$

$5x - 28 > 12x - 7$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$-28 + 7 > 12x - 5x$

$-21 > 7x$

Разделим обе части на 7:

$-3 > x$, или $x < -3$.

3. Найдем пересечение решений.

Первое неравенство выполняется при $x < -4.2$, второе — при $x < -3$. Пересечением этих множеств является $x < -4.2$, так как это более сильное условие.

Ответ: $x \in (-\infty; -4.2)$.

в)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x+1}{4} - \frac{x+1}{6} < \frac{x+1}{3} \\ \frac{x-3}{4} + x < 2x - \frac{x-3}{8} \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $\frac{x+1}{4} - \frac{x+1}{6} < \frac{x+1}{3}$.

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 12:

$12 \cdot \frac{x+1}{4} - 12 \cdot \frac{x+1}{6} < 12 \cdot \frac{x+1}{3}$

$3(x+1) - 2(x+1) < 4(x+1)$

Раскроем скобки:

$3x + 3 - 2x - 2 < 4x + 4$

$x + 1 < 4x + 4$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$1 - 4 < 4x - x$

$-3 < 3x$

Разделим на 3:

$-1 < x$, или $x > -1$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x-3}{4} + x < 2x - \frac{x-3}{8}$.

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 8:

$8 \cdot \frac{x-3}{4} + 8 \cdot x < 8 \cdot 2x - 8 \cdot \frac{x-3}{8}$

$2(x-3) + 8x < 16x - (x-3)$

Раскроем скобки:

$2x - 6 + 8x < 16x - x + 3$

$10x - 6 < 15x + 3$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$-6 - 3 < 15x - 10x$

$-9 < 5x$

Разделим на 5:

$-\frac{9}{5} < x$, или $x > -1.8$.

3. Найдем пересечение решений.

Первое неравенство выполняется при $x > -1$, второе — при $x > -1.8$. Пересечением этих множеств является $x > -1$, так как это более сильное условие.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.