Номер 76, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.5 Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 76, страница 28.

76 Проиллюстрируйте с помощью координатной прямой систему неравенств и запишите множество её решений:

а) $\begin{cases} x > 2,5 \\ x < 6 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x > -3 \\ x > 3 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x \le 0 \\ x \le 4 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x < 5 \\ x > 7 \end{cases}$

д) $\begin{cases} x > 2 \\ x \le -5 \end{cases}$

е) $\begin{cases} x \le 1,5 \\ x \ge -3,5 \end{cases}$

а) Дана система неравенств $\begin{cases} x > 2,5, \\ x < 6; \end{cases}$.
Изобразим решения каждого неравенства на координатной прямой. Для этого отметим точки 2,5 и 6. Так как оба неравенства строгие ($>$ и $<$), точки на прямой будут выколотыми (пустыми).
Решение первого неравенства $x > 2,5$ — это все числа, расположенные правее точки 2,5 (интервал $(2,5; +\infty)$).
Решение второго неравенства $x < 6$ — это все числа, расположенные левее точки 6 (интервал $(-\infty; 6)$).
Решением системы является пересечение этих двух множеств, то есть промежуток, где значения $x$ удовлетворяют обоим условиям. Это числа, которые одновременно больше 2,5 и меньше 6.
Ответ: $(2,5; 6)$.

б) Дана система неравенств $\begin{cases} x > -3, \\ x > 3; \end{cases}$.
На координатной прямой отметим выколотые точки -3 и 3.
Решение первого неравенства $x > -3$ — это все числа правее -3.
Решение второго неравенства $x > 3$ — это все числа правее 3.
Системе удовлетворяют те значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Если число больше 3, оно автоматически больше -3. Следовательно, пересечением множеств решений является множество чисел, больших 3.
Ответ: $(3; +\infty)$.

в) Дана система неравенств $\begin{cases} x \le 0, \\ x \le 4; \end{cases}$.
На координатной прямой отметим точки 0 и 4. Так как оба неравенства нестрогие ($\le$), точки на прямой будут закрашенными.
Решение первого неравенства $x \le 0$ — это все числа левее 0, включая саму точку 0.
Решение второго неравенства $x \le 4$ — это все числа левее 4, включая саму точку 4.
Решением системы является пересечение этих множеств. Если число меньше или равно 0, оно автоматически меньше или равно 4. Таким образом, решением будет множество чисел, меньших или равных 0.
Ответ: $(-\infty; 0]$.

г) Дана система неравенств $\begin{cases} x < 5, \\ x > 7; \end{cases}$.
На координатной прямой отметим выколотые точки 5 и 7.
Решение первого неравенства $x < 5$ — это все числа левее 5.
Решение второго неравенства $x > 7$ — это все числа правее 7.
Не существует чисел, которые одновременно были бы меньше 5 и больше 7. Множества решений этих двух неравенств не пересекаются. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: $\emptyset$.

д) Дана система неравенств $\begin{cases} x > 2, \\ x \le -5; \end{cases}$.
На координатной прямой отметим выколотую точку 2 и закрашенную точку -5.
Решение первого неравенства $x > 2$ — это все числа правее 2.
Решение второго неравенства $x \le -5$ — это все числа левее -5, включая саму точку -5.
Множества решений этих неравенств не имеют общих точек. Не существует числа, которое одновременно больше 2 и меньше или равно -5. Система не имеет решений.
Ответ: $\emptyset$.

е) Дана система неравенств $\begin{cases} x \le 1,5, \\ x \ge -3,5. \end{cases}$.
На координатной прямой отметим точки -3,5 и 1,5. Так как оба неравенства нестрогие ($\le$ и $\ge$), точки будут закрашенными.
Решение первого неравенства $x \le 1,5$ — это все числа левее 1,5, включая эту точку.
Решение второго неравенства $x \ge -3,5$ — это все числа правее -3,5, включая эту точку.
Решением системы является пересечение этих множеств, то есть все числа, которые находятся между -3,5 и 1,5, включая концы промежутка.
Ответ: $[-3,5; 1,5]$.