Номер 69, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.4 Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 69, страница 25.

69 Определите, при каких значениях аргумента точки графика функции $y = f(x)$ расположены выше точек графика функции $y = g(x)$ и при каких ниже. Выполните задание двумя способами: сначала решив неравенство, а затем построив графики в одной системе координат:

a) $f(x) = 2x - 1, g(x) = -2x + 1$

б) $f(x) = 0.5x, g(x) = 3 - x.$

а) $f(x) = 2x - 1, g(x) = -2x + 1$

Способ 1: Решение неравенства

Чтобы определить, при каких значениях аргумента $x$ график функции $y = f(x)$ расположен выше графика функции $y = g(x)$, необходимо решить неравенство $f(x) > g(x)$.

$2x - 1 > -2x + 1$

$2x + 2x > 1 + 1$

$4x > 2$

$x > \frac{2}{4}$

$x > 0,5$

Таким образом, график функции $f(x)$ находится выше графика $g(x)$ при $x > 0,5$.

Чтобы определить, при каких значениях $x$ график $f(x)$ расположен ниже графика $g(x)$, решим неравенство $f(x) < g(x)$.

$2x - 1 < -2x + 1$

$4x < 2$

$x < 0,5$

Таким образом, график функции $f(x)$ находится ниже графика $g(x)$ при $x < 0,5$.

Способ 2: Построение графиков в одной системе координат

Обе функции, $y = 2x - 1$ и $y = -2x + 1$, являются линейными, и их графики — прямые. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек.

Для графика $y = f(x) = 2x - 1$: при $x = 0, y = 2(0) - 1 = -1$, получаем точку $(0; -1)$; при $x = 1, y = 2(1) - 1 = 1$, получаем точку $(1; 1)$.

Для графика $y = g(x) = -2x + 1$: при $x = 0, y = -2(0) + 1 = 1$, получаем точку $(0; 1)$; при $x = 1, y = -2(1) + 1 = -1$, получаем точку $(1; -1)$.

Построив графики в одной системе координат, можно увидеть, что они пересекаются. Точка пересечения — это точка, в которой значения функций равны, то есть $f(x) = g(x)$. Мы уже нашли эту точку в первом способе: $x = 0,5$. Найдем соответствующий $y$: $f(0,5) = 2(0,5) - 1 = 1 - 1 = 0$. Точка пересечения — $(0,5; 0)$.

Визуально на графике видно, что прямая $y=2x-1$ (график $f(x)$) расположена выше прямой $y=-2x+1$ (график $g(x)$) для всех $x$, которые находятся правее точки пересечения, то есть при $x > 0,5$. Соответственно, график $f(x)$ расположен ниже графика $g(x)$ левее точки пересечения, то есть при $x < 0,5$.

Ответ: график функции $f(x)$ расположен выше графика $g(x)$ при $x \in (0,5; +\infty)$, а ниже — при $x \in (-\infty; 0,5)$.

---

б) $f(x) = 0,5x, g(x) = 3 - x$

Способ 1: Решение неравенства

Найдем, при каких $x$ график $f(x)$ выше графика $g(x)$, решив неравенство $f(x) > g(x)$.

$0,5x > 3 - x$

$0,5x + x > 3$

$1,5x > 3$

$x > \frac{3}{1,5}$

$x > 2$

График $f(x)$ выше графика $g(x)$ при $x > 2$.

Найдем, при каких $x$ график $f(x)$ ниже графика $g(x)$, решив неравенство $f(x) < g(x)$.

$0,5x < 3 - x$

$1,5x < 3$

$x < 2$

График $f(x)$ ниже графика $g(x)$ при $x < 2$.

Способ 2: Построение графиков в одной системе координат

Функции $y = 0,5x$ и $y = 3 - x$ являются линейными. Построим их графики.

Для графика $y = f(x) = 0,5x$: при $x = 0, y = 0,5(0) = 0$, получаем точку $(0; 0)$; при $x = 2, y = 0,5(2) = 1$, получаем точку $(2; 1)$.

Для графика $y = g(x) = 3 - x$: при $x = 0, y = 3 - 0 = 3$, получаем точку $(0; 3)$; при $x = 3, y = 3 - 3 = 0$, получаем точку $(3; 0)$.

Найдем точку пересечения графиков из условия $f(x) = g(x)$. Как было найдено в первом способе, $x=2$. Найдем $y$: $f(2) = 0,5(2) = 1$. Точка пересечения — $(2; 1)$.

На построенных графиках видно, что прямая $y=0,5x$ (график $f(x)$) проходит выше прямой $y=3-x$ (график $g(x)$) справа от их точки пересечения, то есть при $x > 2$. График $f(x)$ проходит ниже графика $g(x)$ слева от точки пересечения, то есть при $x < 2$.

Ответ: график функции $f(x)$ расположен выше графика $g(x)$ при $x \in (2; +\infty)$, а ниже — при $x \in (-\infty; 2)$.