Номер 71, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.4 Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 71, страница 25.

71 При каких значениях параметра a корень уравнения равен нулю; является числом положительным; является числом отрицательным:

а) $4x = a - 8;$

б) $5(x - 1) = 4 - 2a;$

в) $ax + 2 = x + 10;$

г) $(1 - a)x = 6 - x?$

а) Исходное уравнение: $4x = a - 8$.
Это линейное уравнение относительно $x$. Выразим корень $x$ через параметр $a$:
$x = \frac{a - 8}{4}$
Рассмотрим три случая:
1. Корень равен нулю ($x = 0$)
Для этого необходимо, чтобы числитель дроби был равен нулю:
$a - 8 = 0 \implies a = 8$
2. Корень является положительным числом ($x > 0$)
$\frac{a - 8}{4} > 0$
Так как знаменатель $4$ положителен, это неравенство равносильно неравенству для числителя:
$a - 8 > 0 \implies a > 8$
3. Корень является отрицательным числом ($x < 0$)
$\frac{a - 8}{4} < 0$
Аналогично, так как знаменатель положителен, неравенство равносильно:
$a - 8 < 0 \implies a < 8$
Ответ: корень равен нулю при $a = 8$; является положительным числом при $a > 8$; является отрицательным числом при $a < 8$.

б) Исходное уравнение: $5(x - 1) = 4 - 2a$.
Сначала упростим уравнение и выразим $x$:
$5x - 5 = 4 - 2a$
$5x = 9 - 2a$
$x = \frac{9 - 2a}{5}$
Рассмотрим три случая:
1. Корень равен нулю ($x = 0$)
Для этого необходимо, чтобы числитель дроби был равен нулю:
$9 - 2a = 0 \implies 2a = 9 \implies a = 4.5$
2. Корень является положительным числом ($x > 0$)
$\frac{9 - 2a}{5} > 0$
Так как знаменатель $5$ положителен, неравенство равносильно:
$9 - 2a > 0 \implies 9 > 2a \implies a < 4.5$
3. Корень является отрицательным числом ($x < 0$)
$\frac{9 - 2a}{5} < 0$
Так как знаменатель $5$ положителен, неравенство равносильно:
$9 - 2a < 0 \implies 9 < 2a \implies a > 4.5$
Ответ: корень равен нулю при $a = 4.5$; является положительным числом при $a < 4.5$; является отрицательным числом при $a > 4.5$.

в) Исходное уравнение: $ax + 2 = x + 10$.
Сгруппируем члены с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:
$ax - x = 10 - 2$
$(a - 1)x = 8$
Чтобы уравнение имело единственный корень, коэффициент при $x$ не должен быть равен нулю, то есть $a - 1 \neq 0$, откуда $a \neq 1$. При $a = 1$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 8$, что неверно, следовательно, корней нет.
При $a \neq 1$ корень уравнения равен:
$x = \frac{8}{a - 1}$
Рассмотрим три случая:
1. Корень равен нулю ($x = 0$)
$\frac{8}{a - 1} = 0$
Это уравнение не имеет решений, так как числитель $8 \neq 0$. Следовательно, корень не может быть равен нулю.
2. Корень является положительным числом ($x > 0$)
$\frac{8}{a - 1} > 0$
Так как числитель $8$ положителен, для выполнения неравенства знаменатель также должен быть положителен:
$a - 1 > 0 \implies a > 1$
3. Корень является отрицательным числом ($x < 0$)
$\frac{8}{a - 1} < 0$
Так как числитель $8$ положителен, для выполнения неравенства знаменатель должен быть отрицателен:
$a - 1 < 0 \implies a < 1$
Ответ: корень не может быть равен нулю ни при каких значениях $a$; является положительным числом при $a > 1$; является отрицательным числом при $a < 1$.

г) Исходное уравнение: $(1 - a)x = 6 - x$.
Сгруппируем члены с $x$ в левой части уравнения:
$(1 - a)x + x = 6$
$(1 - a + 1)x = 6$
$(2 - a)x = 6$
Чтобы уравнение имело единственный корень, коэффициент при $x$ не должен быть равен нулю: $2 - a \neq 0$, откуда $a \neq 2$. При $a = 2$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 6$, что неверно, следовательно, корней нет.
При $a \neq 2$ корень уравнения равен:
$x = \frac{6}{2 - a}$
Рассмотрим три случая:
1. Корень равен нулю ($x = 0$)
$\frac{6}{2 - a} = 0$
Это уравнение не имеет решений, так как числитель $6 \neq 0$. Таким образом, корень не может быть равен нулю.
2. Корень является положительным числом ($x > 0$)
$\frac{6}{2 - a} > 0$
Так как числитель $6$ положителен, знаменатель также должен быть положителен:
$2 - a > 0 \implies 2 > a \implies a < 2$
3. Корень является отрицательным числом ($x < 0$)
$\frac{6}{2 - a} < 0$
Так как числитель $6$ положителен, знаменатель должен быть отрицателен:
$2 - a < 0 \implies 2 < a \implies a > 2$
Ответ: корень не может быть равен нулю ни при каких значениях $a$; является положительным числом при $a < 2$; является отрицательным числом при $a > 2$.