Номер 65, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.4 Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 65, страница 24.

65 a) Найдите все целые положительные решения неравенства $3x < \sqrt{45}$.

б) Найдите все целые отрицательные решения неравенства $-2x < \sqrt{24}$.

а)

Нам нужно найти все целые положительные решения неравенства $3x < \sqrt{45}$.

Сначала оценим значение $\sqrt{45}$. Мы знаем, что $6^2 = 36$ и $7^2 = 49$. Так как $36 < 45 < 49$, то можно сделать вывод, что $6 < \sqrt{45} < 7$.

Теперь решим неравенство относительно $x$. Для этого разделим обе его части на 3 (поскольку 3 — положительное число, знак неравенства не меняется):
$x < \frac{\sqrt{45}}{3}$

Используя найденную оценку для $\sqrt{45}$, мы можем оценить и правую часть неравенства:
$\frac{6}{3} < \frac{\sqrt{45}}{3} < \frac{7}{3}$
$2 < \frac{\sqrt{45}}{3} < 2,33...$

Таким образом, мы ищем целые положительные числа $x$, которые удовлетворяют условию $x < \frac{\sqrt{45}}{3}$, где $\frac{\sqrt{45}}{3}$ — это число, немного большее 2.

Целые числа, которые меньше, чем 2,33..., это 2, 1, 0, -1 и так далее. По условию задачи нам нужны только положительные целые решения. Такими числами являются 1 и 2.

Проверим найденные решения:
- Если $x = 1$, то $3 \cdot 1 = 3$. Неравенство $3 < \sqrt{45}$ верно, так как $3^2 = 9$, а $9 < 45$.
- Если $x = 2$, то $3 \cdot 2 = 6$. Неравенство $6 < \sqrt{45}$ верно, так как $6^2 = 36$, а $36 < 45$.
- Если взять следующее целое число $x = 3$, то $3 \cdot 3 = 9$. Неравенство $9 < \sqrt{45}$ неверно, так как $9^2 = 81$, а $81 > 45$.

Следовательно, целыми положительными решениями являются 1 и 2.

Ответ: 1, 2.

б)

Нам нужно найти все целые отрицательные решения неравенства $-2x < \sqrt{24}$.

Сначала оценим значение $\sqrt{24}$. Мы знаем, что $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$. Так как $16 < 24 < 25$, то можно сделать вывод, что $4 < \sqrt{24} < 5$.

Теперь решим неравенство относительно $x$. Для этого разделим обе его части на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{\sqrt{24}}{-2}$
$x > -\frac{\sqrt{24}}{2}$

Используя найденную оценку для $\sqrt{24}$, оценим правую часть нового неравенства:
Поскольку $4 < \sqrt{24} < 5$, то $-5 < -\sqrt{24} < -4$.
Теперь разделим на 2:
$-\frac{5}{2} < -\frac{\sqrt{24}}{2} < -\frac{4}{2}$
$-2,5 < -\frac{\sqrt{24}}{2} < -2$

Таким образом, мы ищем целые отрицательные числа $x$, которые удовлетворяют условию $x > -\frac{\sqrt{24}}{2}$, где $-\frac{\sqrt{24}}{2}$ — это число, находящееся между -2,5 и -2.

Целые числа, которые больше, чем число между -2,5 и -2, это -2, -1, 0, 1 и так далее. По условию задачи нам нужны только отрицательные целые решения. Такими числами являются -2 и -1.

Проверим найденные решения:
- Если $x = -1$, то $-2 \cdot (-1) = 2$. Неравенство $2 < \sqrt{24}$ верно, так как $2^2 = 4$, а $4 < 24$.
- Если $x = -2$, то $-2 \cdot (-2) = 4$. Неравенство $4 < \sqrt{24}$ верно, так как $4^2 = 16$, а $16 < 24$.
- Если взять следующее целое отрицательное число $x = -3$, то $-2 \cdot (-3) = 6$. Неравенство $6 < \sqrt{24}$ неверно, так как $6^2 = 36$, а $36 > 24$.

Следовательно, целыми отрицательными решениями являются -2 и -1.

Ответ: -2, -1.