Номер 63, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.4 Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 63, страница 24.

Найдите все решения неравенства, принадлежащие заданному промежутку:

а) $ \frac{2x - 1}{2} > \frac{1 + 5x}{8} - 1 $, $ [-2; 3] $;

б) $ \frac{(2x + 1)^2}{3} - \frac{2x + 1}{2} \le \frac{8x^2}{3} - 1 $, $ [-3; -1] $;

в) $ \frac{x + 2}{20} - \frac{1 - 2x}{5} \le \frac{3x}{20} - \frac{1}{10} $, $ [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}] $;

г) $ \frac{3x - 2}{5} + \frac{1}{2} \ge \frac{4x + 1}{5} - \frac{1}{2} $, $ [-15; 15] $.

а) Решим неравенство $\frac{2x - 1}{2} > \frac{1 + 5x}{8} - 1$.
Для того чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 8:
$8 \cdot \frac{2x - 1}{2} > 8 \cdot \left(\frac{1 + 5x}{8} - 1\right)$
$4(2x - 1) > (1 + 5x) - 8$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$8x - 4 > 5x - 7$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$8x - 5x > -7 + 4$
$3x > -3$
Разделим обе части на 3:
$x > -1$
Таким образом, решением неравенства является промежуток $(-1; +\infty)$.
Теперь найдем все решения, принадлежащие заданному промежутку $[-2; 3]$. Для этого найдем пересечение множества решений неравенства $(-1; +\infty)$ и промежутка $[-2; 3]$:
$(-1; +\infty) \cap [-2; 3] = (-1; 3]$.
Ответ: $x \in (-1; 3]$.

б) Решим неравенство $\frac{(2x + 1)^2}{3} - \frac{2x + 1}{2} \le \frac{8x^2}{3} - 1$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 6:
$2(2x + 1)^2 - 3(2x + 1) \le 2(8x^2) - 6$
Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$:
$2(4x^2 + 4x + 1) - 6x - 3 \le 16x^2 - 6$
$8x^2 + 8x + 2 - 6x - 3 \le 16x^2 - 6$
Приведем подобные слагаемые:
$8x^2 + 2x - 1 \le 16x^2 - 6$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 \le 16x^2 - 8x^2 - 2x - 6 + 1$
$0 \le 8x^2 - 2x - 5$
Решим квадратное уравнение $8x^2 - 2x - 5 = 0$ для нахождения корней.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 4 + 160 = 164$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{164}}{16} = \frac{2 \pm 2\sqrt{41}}{16} = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{8}$.
Так как ветви параболы $y = 8x^2 - 2x - 5$ направлены вверх, неравенство $8x^2 - 2x - 5 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями:
$x \in \left(-\infty; \frac{1 - \sqrt{41}}{8}\right] \cup \left[\frac{1 + \sqrt{41}}{8}; +\infty\right)$.
Найдем решения, принадлежащие промежутку $[-3; -1]$. Оценим значение корней: $6 < \sqrt{41} < 7$.
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{41}}{8} \approx \frac{1 - 6.4}{8} \approx -0.675$.
$x_2 = \frac{1 + \sqrt{41}}{8} \approx \frac{1 + 6.4}{8} \approx 0.925$.
Так как $x_1 \approx -0.675$, то $x_1 > -1$. Весь заданный промежуток $[-3; -1]$ меньше, чем $x_1$. Следовательно, все значения из промежутка $[-3; -1]$ удовлетворяют условию $x \le x_1$.
Пересечением множества решений и заданного промежутка является сам промежуток $[-3; -1]$.
Ответ: $x \in [-3; -1]$.

в) Решим неравенство $\frac{x + 2}{20} - \frac{1 - 2x}{5} \le \frac{3x}{20} - \frac{1}{10}$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 20:
$(x + 2) - 4(1 - 2x) \le 3x - 2$
Раскроем скобки и упростим:
$x + 2 - 4 + 8x \le 3x - 2$
$9x - 2 \le 3x - 2$
Перенесем слагаемые:
$9x - 3x \le -2 + 2$
$6x \le 0$
$x \le 0$
Решением неравенства является промежуток $(-\infty; 0]$.
Найдем пересечение этого решения с заданным промежутком $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$:
$(-\infty; 0] \cap [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}] = [-\frac{1}{2}; 0]$.
Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}; 0]$.

г) Решим неравенство $\frac{3x - 2}{5} + \frac{1}{2} \ge \frac{4x + 1}{5} - \frac{1}{2}$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 10:
$2(3x - 2) + 5 \ge 2(4x + 1) - 5$
Раскроем скобки и упростим:
$6x - 4 + 5 \ge 8x + 2 - 5$
$6x + 1 \ge 8x - 3$
Перенесем слагаемые:
$1 + 3 \ge 8x - 6x$
$4 \ge 2x$
$2 \ge x$ или $x \le 2$
Решением неравенства является промежуток $(-\infty; 2]$.
Найдем пересечение этого решения с заданным промежутком $[-15; 15]$:
$(-\infty; 2] \cap [-15; 15] = [-15; 2]$.
Ответ: $x \in [-15; 2]$.